Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 80 mm pada 1440 rpm memacu takal 300 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 1 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 300 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Tali sawat terbuka menyambungkan takal 200 mm dan takal 300 mm yang pusatnya berjarak 1000 mm. Cari sudut lilitan θ pada takal yang lebih kecil, dalam darjah.

d₁ = 200 mmd₂ = 300 mmC = 1000 mm

θ = °

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 60 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 400 N·m dikenakan pada C, 2 m dari A dan 1 m dari B. Cari tork tindak balas T_A pada dinding A.

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 2 mb = 1 m

T_A = N·m

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 350 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = −70 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 15 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 95 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 110 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 110 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 15 kg disokong oleh spring berkekakuan 150 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 1500 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 15 kgk = 150 kN/mc = 1500 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 40 kg tergantung pada dua spring yang disambung hujung ke hujung (bersiri): spring atas k₁ = 40 kN/m dan spring bawah k₂ = 80 kN/m. Abaikan redaman dan jisim spring. Cari frekuensi tabii f_n bagi getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 380.2 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

1440·80/300 = 384 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 384·0.99 = 380.2 rpm

Jawapan

n₂ = 380.2 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: θ = 174.3 °

Sudut tali sawat

asin(0.05) = 2.866°

Sudut lilitan

θ = 180 − 2·2.866 = 174.3°

Jawapan

θ = 174.3°

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 11.08 °

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·79522) = 0.1935 rad

φ = 0.1935·180/π = 11.08°

Jawapan

φ = 11.08°

4.Kilasan aci

Jawapan: T_A = 133.3 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1/3 = 133.3 N·m

T_B = 400·2/3 = 266.7 N·m

Jawapan

T_A = 133.3 N·m

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −35.78 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 20/63.25 = 0.3162, sin 2θ_s = −60/63.25 = −0.9487

2θ_s = atan2(−60, 20) = −71.57°

Sudut pada unsur

θ_s = −35.78°

semakan: θ_s − θ_p = −35.78 − 9.217 = −45°

Jawapan

θ_s = −35.78°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.937

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −25 MPa, R = 67.27 MPa

σ₁ = 42.27 MPa, σ₂ = −92.27 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(42.27² − 42.27·(−92.27) + (−92.27)²) = 119.2 MPa

n = 350/119.2 = 2.937

Jawapan

n = 2.937

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.6529 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490.9 = 30.56 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 30.56/117000 = 0.0002612 = 261.2 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0002612·2500 mm = 0.6529 mm

Jawapan

δ = 0.6529 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 6.175 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 98.74 MPa

σ₂ = 840 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 98.74·2000/100000 = 1.975 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·1000/200000 = 4.2 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6.175 mm

Jawapan

δ = 6.175 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 78.68 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/1400² = 78680 N = 78.68 kN

Jawapan

P_cr = 78.68 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 66.76 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·110000 = 220000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 66.76 mm

Jawapan

d = 66.76 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 104.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.5

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·15) = 3000 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 1500/3000 = 0.5

Jawapan

ζ = 0.5

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 4.109 Hz

Kekakuan setara

Spring secara bersiri berkongsi daya yang sama dan menambah pesongannya, jadi ia bergabung sebagai salingan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/80 → k_eq = 40·80/(40 + 80) = 26.67 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(26667/40) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

Jawapan

f_n = 4.109 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design