Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Tali sawat berjalan pada takal pemacu 80 mm pada 720 rpm. Tegangannya ialah 800 N pada sisi kencang dan 200 N pada sisi kendur. Cari kuasa P yang dipindahkan, dalam kW.

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 800 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (12 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 1500 rpm memacu gear B (15 gigi). Gear C (45 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (72 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 12B = 15C = 45D = 72

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 250 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.8 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0.8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 50 mm terikat pada A. Tork 250 N·m bertindak pada B, 2 m dari A, dan tork 250 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 3 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 50 mmT_B = 250 N·mT_C = 250 N·mAB = 2 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −50 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −50 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 80 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 150 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 65 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 15 kg disokong oleh spring berkekakuan 40 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 120 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 15 kgk = 40 kN/mc = 120 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 40 kg tergantung pada spring k₃ = 20 kN/m. Bahagian atas k₃ dipasang pada bar tegar yang tergantung pada dua spring bersebelahan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 25 kN/m; bar kekal mendatar. Abaikan redaman dan jisim spring serta bar. Cari frekuensi tabii f_n getaran menegak dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: P = 1.81 kW

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tali sawat

v = 3.016 m/s

Kuasa

P = (800 − 200)·3.016 = 1810 W = 1.81 kW

Jawapan

P = 1.81 kW

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 750 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 1500·12/15 = 1200 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 1200·45/72 = 750 rpm

Jawapan

n_out = 750 rpm

nisbah keseluruhan = 2 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 33 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0.5904)) = 33 mm

d_i = 0.8·33 = 26.4 mm

Jawapan

d_o = 33 mm

Aci pepejal memerlukan d = 27.69 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 20.37 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 250 = 500 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·50³) = 20.37 MPa

Jawapan

τ_max = 20.37 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = 27.39 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 60/104 = 0.5767, sin 2θ_s = −(−85)/104 = 0.817

2θ_s = atan2(85, 60) = 54.78°

Sudut pada unsur

θ_s = 27.39°

semakan: θ_s − θ_p = 27.39 − 72.39 = −45°

Jawapan

θ_s = 27.39°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −10 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −10·1 + 20·0 = −10 MPa

Jawapan

τ_θ = −10 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 7.639 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78.54 = 1019 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1019/200000 = 0.005093 = 5093 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.005093·1500 mm = 7.639 mm

Jawapan

δ = 7.639 mm

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 723 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·9346 = 1.033 × 10⁹ N

Terikan penentu

ε = min(0.00075, 0.0007) = 0.0007 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0007·1.033 × 10⁹ = 722959 N = 723 kN

Jawapan

P_max = 723 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 284.2 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1250² = 284245 N = 284.2 kN

Jawapan

P_cr = 284.2 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 70.46 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 70.46 mm

Jawapan

d = 70.46 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 198.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.07746

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·15) = 1549 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 120/1549 = 0.07746

Jawapan

ζ = 0.07746

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: f_n = 3.304 Hz

Kekakuan setara

Hanya k₁ dan k₂ yang selari. Pasangan itu bersiri dengan k₃, jadi gabungkannya sebagai salingan.

k₁₂ = 100 + 25 = 125 kN/m

k_eq = 125·20/(125 + 20) = 17.24 kN/m

Frekuensi tabii

ω_n = √(17241/40) = 20.76 rad/s

f_n = 20.76/(2π) = 3.304 Hz

Jawapan

f_n = 3.304 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design