Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Gear & rangkaian gear

Gear bergigi bertaut: n₁·N₁ = n₂·N₂
Tork: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Kuasa: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian gear gubahan: nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanikal

Frekuensi tabii: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Daripada pesongan statik: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman genting: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Nisbah redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Penyusutan logaritma: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Spring secara selari: k = k₁ + k₂
Spring secara bersiri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soalan latihan

1.Gear & rangkaian gearSederhana

Takal 125 mm pada 1500 rpm memacu takal 400 mm melalui tali sawat dengan gelinciran 2 %. Cari laju n₂ takal yang dipacu.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 400 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Gear & rangkaian gearSukar

Dalam rangkaian gear gubahan, gear A (32 gigi) pada aci masukan yang berputar pada 960 rpm memacu gear B (50 gigi). Gear C (36 gigi) dipasang pada aci yang sama dengan B dan memacu gear D (60 gigi) pada aci keluaran. Cari laju keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 32B = 50C = 36D = 60

n_out = rpm

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang berongga (diameter luar 40 mm, diameter dalam 28 mm, panjang 1 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 500 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 500 N·md_o = 40 mmd_i = 28 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 40 mm terikat pada A. Tork 250 N·m bertindak pada B, 0.5 m dari A, dan tork 400 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 2.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 400 N·mAB = 0.5 mBC = 2.5 m

τ_max = MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 50 mm membawa momen lentur 300 N·m bersama-sama dengan tork 1500 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 50 mmM = 300 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

7.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 150 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatiub: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 60 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanikalSederhana

Jisim 5 kg disokong oleh spring berkekakuan 25 kN/m dan peredam likat dengan pekali redaman 210 N·s/m. Cari nisbah redaman ζ.

m = 5 kgk = 25 kN/mc = 210 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanikalSukar

Jisim 40 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 40 kN/m. Jisim kekal mendatar. Cari kekakuan setara k_eq sistem spring dalam kN/m.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n₂ = 459.4 rpm

Pemacu tali sawat: tanpa gelinciran, kedua-dua takal mempunyai laju bibir yang sama v = π·d·n/60, jadi n₁·d₁ = n₂·d₂ dan nisbah laju ialah d₂/d₁. Gelinciran s menjadikan takal yang dipacu sedikit lebih perlahan: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Kuasa yang dipindahkan ialah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan pada sisi kencang dan T₂ pada sisi kendur. Geseran mengehadkan nisbah tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut lilitan dalam radian pada takal yang lebih kecil; bagi tali sawat terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak pusat C.

Laju tanpa gelinciran

1500·125/400 = 468.8 rpm

Dengan gelinciran

n₂ = 468.8·0.98 = 459.4 rpm

Jawapan

n₂ = 459.4 rpm

2.Gear & rangkaian gear

Jawapan: n_out = 368.6 rpm

Rangkaian gear: gear yang bertaut mempunyai laju yang sama pada gigi, jadi n₁·N₁ = n₂·N₂: gear dengan gigi lebih sedikit berputar lebih laju. Gear pada satu aci berputar pada laju yang sama. Kuasa disalurkan (tolak kehilangan), jadi tork meningkat apabila laju menurun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Peringkat pertama

n_B = 960·32/50 = 614.4 rpm = n_C

Peringkat kedua

n_out = 614.4·36/60 = 368.6 rpm

Jawapan

n_out = 368.6 rpm

nisbah keseluruhan = 2.604 : 1

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 3.846 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Sudut piuhan

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1000/(39000·190984) = 0.06713 rad

φ = 0.06713·180/π = 3.846°

Jawapan

φ = 3.846°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 51.73 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 250 = 650 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 650 N·m

τ_max = 16·650000/(π·40³) = 51.73 MPa

Jawapan

τ_max = 51.73 MPa

5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 26.57 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 150 − 60) = 53.13°

Sudut pada unsur

θ_p = 26.57°

Jawapan

θ_p = 26.57°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 62.33 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·50³) = 24.45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61.12 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 12.22 MPa

R = √(12.22² + 61.12²) = 62.33 MPa

Jawapan

τ_max = 62.33 MPa

7.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 3492 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 120·1000/490.9 = 244.5 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 244.5/70000 = 0.003492 = 3492 µε

Jawapan

ε = 3492 µε

8.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 414.3 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00075, 0.0006364) = 0.0006364 (gangsa)

Beban terbesar

P_max = 0.0006364·6.511 × 10⁸ = 414333 N = 414.3 kN

Jawapan

P_max = 414.3 kN

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 38.55 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2000² = 38553 N = 38.55 kN

Jawapan

P_cr = 38.55 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 81.14 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 81.14 mm

Jawapan

d = 81.14 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 172.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

11.Getaran mekanikal

Jawapan: ζ = 0.297

Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/c_c, dengan redaman genting c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman genting

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·5) = 707.1 N·s/m

Nisbah redaman

ζ = c/c_c = 210/707.1 = 0.297

Jawapan

ζ = 0.297

ζ < 1, jadi sistem kurang teredam dan berayun semasa susut.

12.Getaran mekanikal

Jawapan: k_eq = 65 kN/m

Kekakuan setara

Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 40 = 65 kN/m

Jawapan

k_eq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design