Gear & rangkaian gear
- Gear bergigi bertaut
- n1·N1 = n2·N2
- Tork
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Kuasa
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian gear gubahan
- nisbah keseluruhan = hasil darab nisbah peringkat
Reka Bentuk Mesin: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kilasan aci
- Tegasan ricih
- τ = T·r/J
- Aci pejal
- J = πd⁴/32
- Aci berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut piuhan
- φ = TL/(GJ)
- Kuasa
- P = T·ω = 2πnT/60
Kaedah
- Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
- Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
- Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Bulatan Mohr & transformasi tegasan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jejari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegasan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Satah condong
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Kaedah
- Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
- Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegasan & terikan paksi
- Tegasan normal
- σ = F/A
- Terikan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pemanjangan
- ΔL = FL/(EA)
- Terikan terma
- εT = α·ΔT
Lengkokan tiang
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang berkesan
- K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
- Tegasan kritikal
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanikal
- Frekuensi tabii
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Daripada pesongan statik
- ωn = √(g/δst)
- Redaman genting
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Nisbah redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Penyusutan logaritma
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Spring secara selari
- k = k1 + k2
- Spring secara bersiri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soalan latihan
1.Gear & rangkaian gearSederhana
Dua aci selari berjarak 42 mm. Kedua-duanya mesti disambung dengan sepasang gear taji bermodul 1.5 mm dan pengurangan laju 2.5 : 1. Berapakah bilangan gigi N2 yang mesti dimiliki oleh gear?
a = 42 mmm = 1.5 mmi = 2.5
N2 =
2.Gear & rangkaian gearSukar
Sebuah motor 7.5 kW pada 960 rpm menggerakkan gear A (15 gigi), yang bersalingan dengan gear B (24 gigi). Gear C (16 gigi) pada aci yang sama dengan B menggerakkan gear D (36 gigi) pada aci keluaran. Setiap persalingan gear mempunyai kecekapan 95%. Cari tork keluaran Tout.
P = 7.5 kWnin = 960 rpmA = 15B = 24C = 16D = 36ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.Kilasan aciSederhana
Aci aluminium pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 1.5 m; segmen BC berdiameter 50 mm dan panjang 2.5 m. Tork 1000 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari tegasan ricih maksimum τmax dalam aci.
T = 1000 N·md1 = 60 mm, L1 = 1.5 md2 = 50 mm, L2 = 2.5 m
τmax = MPa
4.Kilasan aciSukar
Aci aluminium pepejal berdiameter 40 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 750 N·m dikenakan pada C, 1.2 m dari A dan 1.5 m dari B. Cari tork tindak balas TA pada dinding A.
d = 40 mmT0 = 750 N·ma = 1.2 mb = 1.5 m
TA = N·m
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.
σx = −80 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 300 N·m bersama-sama dengan tork 500 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ1.
d = 30 mmM = 300 N·mT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.Tegasan & terikan paksiSederhana
Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).
P = 90 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Tegasan & terikan paksiSukar
Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.
P = 90 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)
δ = mm
9.Lengkokan tiangSederhana
Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.
L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Lengkokan tiangSukar
Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 90 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.
P = 90 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm
11.Getaran mekanikalSederhana
Jisim 40 kg pada spring berkekakuan 10 kN/m mempunyai peredam likat yang memberikan nisbah redaman 0.5. Cari frekuensi tabii teredam fd bagi getaran bebasnya dalam Hz.
m = 40 kgk = 10 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.Getaran mekanikalSukar
Jisim 10 kg tergantung pada dua spring bersebelahan (selari), dengan kekakuan k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 30 kN/m. Jisim kekal mendatar. Cari kekakuan setara keq sistem spring dalam kN/m.
m = 10 kgk1 = 12 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m
3Larutan
1.Gear & rangkaian gear
Jawapan: N2 = 40
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
Jumlah bilangan gigi
N1 + N2 = 2a/m = 2·42/1.5 = 56
Bahagikan mengikut nisbah
N1 = 56/(1 + 2.5) = 16
N2 = 2.5·16 = 40
Jawapan
N2 = 40
2.Gear & rangkaian gear
Jawapan: Tout = 242.4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Laju keluaran
nout = 960·(15/24)·(16/36) = 266.7 rpm
ωout = 2π·266.7/60 = 27.93 rad/s
Kuasa dan tork keluaran
Pout = 7500·0.95² = 6769 W
Tout = Pout/ωout = 6769/27.93 = 242.4 N·m
Jawapan
Tout = 242.4 N·m
3.Kilasan aci
Jawapan: τmax = 40.74 MPa
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.
Tegasan dalam setiap segmen
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
τAB = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23.58 MPa
τBC = 16·1 × 10⁶/(π·50³) = 40.74 MPa
Jawapan
τmax = 40.74 MPa
4.Kilasan aci
Jawapan: TA = 416.7 N·m
Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).
Keseimbangan dan keserasian
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·1.5/2.7 = 416.7 N·m
TB = 750·1.2/2.7 = 333.3 N·m
Jawapan
TA = 416.7 N·m
5.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: θp = 79.72 °
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan
Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.
2θp = atan2(2·30, −80 − 80) = 159.4°
Sudut pada unsur
θp = 79.72°
Jawapan
θp = 79.72°
Sudut positif ialah lawan arah jam.
6.Bulatan Mohr & transformasi tegasan
Jawapan: σ1 = 166.6 MPa
Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Tegasan pada permukaan
σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·30³) = 113.2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94.31 MPa
Bulatan Mohr
C = σ/2 = 56.59 MPa
R = √(56.59² + 94.31²) = 110 MPa
σ1 = C + R = 166.6 MPa
σ2 = C − R = −53.4 MPa
Jawapan
σ1 = 166.6 MPa
7.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: ε = 1432 µε
Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).
Tegasan
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 90·1000/314.2 = 286.5 MPa
Terikan (hukum Hooke)
E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 286.5/200000 = 0.001432 = 1432 µε
Jawapan
ε = 1432 µε
8.Tegasan & terikan paksi
Jawapan: δ = 3.648 mm
Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.
Daya yang sama dalam kedua-dua segmen
Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 183.3 MPa
σ2 = 286.5 MPa
Tambah pemanjangan segmen
δ1 = σ1L1/E1 = 183.3·500/117000 = 0.7835 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 286.5·2000/200000 = 2.865 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.648 mm
Jawapan
δ = 3.648 mm
9.Lengkokan tiang
Jawapan: Pcr = 3.109 kN
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Momen luas kedua terkecil
Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
Panjang berkesan
KL = 1·5000 = 5000 mm
Beban kritikal
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/5000² = 3109 N = 3.109 kN
Jawapan
Pcr = 3.109 kN
10.Lengkokan tiang
Jawapan: d = 69.07 mm
Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.
Beban kritikal yang diperlukan
Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 69.07 mm
Jawapan
d = 69.07 mm
Semak: kelangsingan KL/r ialah 202.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.
11.Getaran mekanikal
Jawapan: fd = 2.179 Hz
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi tabii tanpa redaman
ωn = √(10000/40) = 15.81 rad/s
fn = 15.81/(2π) = 2.516 Hz
Frekuensi tabii teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.5²) = 2.179 Hz
Jawapan
fd = 2.179 Hz
12.Getaran mekanikal
Jawapan: keq = 42 kN/m
Getaran bebas sistem jisim–spring: frekuensi tabii tanpa redaman ialah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam likat c memberikan nisbah redaman ζ = c/cc, dengan redaman genting cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berayun pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Spring secara selari ditambah, k = k₁ + k₂; spring secara bersiri ditambah sebagai salingan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan setara
Spring bersebelahan berkongsi pesongan dan menambah dayanya, jadi kekakuannya hanya ditambah: k = k1 + k2.
keq = 12 + 30 = 42 kN/m
Jawapan
keq = 42 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design