Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 20 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 150 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegasan dibenarkan 100 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatiub: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 10 mm dipiuh oleh tork 40 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 200 mm berputar 5.84° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 40 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5.84°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 50 mm terikat pada A. Tork 1000 N·m bertindak pada B, 1 m dari A, dan tork 750 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 0.8 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 750 N·mAB = 1 mBC = 0.8 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 2 m dari A. Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1.5 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 4 mP = 25 kN pada 2 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 55 kN pada 3 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 300 mm dan diameter dalam d = 288 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 300 mmd = 288 mm

r = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 5 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmM = 5 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 100 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 45° ikut arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 100 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 120 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 10 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 1088 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 40·1000/314.2 = 127.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 127.3/117000 = 0.001088 = 1088 µε

Jawapan

ε = 1088 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 520.7 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·5027 = 6.943 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00075, 0.0009091) = 0.00075 (keluli)

Beban terbesar

P_max = 0.00075·6.943 × 10⁸ = 520719 N = 520.7 kN

Jawapan

P_max = 520.7 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 79.95 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴

φ = 5.84·π/180 = 0.1019 rad

Modulus ricih

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(981.7·0.1019) = 79947 MPa

G = 79.95 GPa

Jawapan

G = 79.95 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 71.3 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 1000 = 1750 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 1750 N·m

τ_max = 16·1.75 × 10⁶/(π·50³) = 71.3 MPa

Jawapan

τ_max = 71.3 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −43.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −25·0.5 = −12.5 kN·m

w: −10·2.5²/2 = −31.25 kN·m

M_x = −12.5 − 31.25 = −43.75 kN·m

Jawapan

M_x = −43.75 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 28 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3 + 3·5·2.5

R_B = 202.5/5 = 40.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 40.5 = 29.5 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 29.5·1 − 3·1·0.5 = 28 kN·m

Jawapan

M_x = 28 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 104 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 5542 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5.99 × 10⁷ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(5.99 × 10⁷/5542) = 104 mm

Jawapan

r = 104 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 13.9 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227.5 mm

web: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·227.5 + 3520·110)/5320 = 149.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 120·15³/12 + 1800·(227.5 − 149.8)² = 1.091 × 10⁷ mm⁴

web: 16·220³/12 + 3520·(110 − 149.8)² = 1.976 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.091 × 10⁷ + 1.976 × 10⁷ = 3.067 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 235 − 149.8 = 85.24 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·85.24/3.067 × 10⁷ = 13.9 MPa

Jawapan

σ_atas = 13.9 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 100 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 60 − 40·0 − 40·(−1) = 100 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 20 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 100 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −50 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −50·1 + 30·0 = −50 MPa

Jawapan

τ_θ = −50 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 40.18 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 40.18 mm

Jawapan

δ_max = 40.18 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 2.26 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·1500⁴/(384·70000·4.167) = 2.26 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.26 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 2.26 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 19.69 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2100² = 19687 N = 19.69 kN

Jawapan

P_cr = 19.69 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 30.71 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa

Jawapan

σ_cr = 30.71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials