Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana
P = ?12500 mm200 mmØ30Ø40δ = 0.25 mm

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.25 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.Tegasan & terikan paksiSukar
Ø 40 mmLoyang0.5 mØ 20 mmKeluli1 mP = 70 kN

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 70 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Kilasan aciSederhana
T = 500 N·md = 25 mmL = 0.8 mφ = ?

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
d = 50 mmT0​ = 1000 N·mACBa = 0.5 mb = 1 m

Aci aluminium pepejal berdiameter 50 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1000 N·m dikenakan pada C, 0.5 m dari A dan 1 m dari B. Cari sudut putaran φC keratan C, dalam darjah.

d = 50 mmT0 = 1000 N·ma = 0.5 mb = 1 mG = 26 GPa
φC = °
5.Daya ricih & momen lenturSederhana
M0​ = 45 kN·mAB4 m4 m

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M0 = 45 kN·m pada x = 4 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur Mx sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 8 mM0 = 45 kN·m ikut arah jam, pada 4 m
Mx = kN·m
6.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 5 kN/mP = 40 kNABkeratan1 m5 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mP = 40 kN pada 1 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Sentroid & momen luas keduaSederhana
3001528014xdimensi dalam mm

Cari momen luas kedua Ix keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Sentroid & momen luas keduaSukar
1401522020xM saggingdimensi dalam mm

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 60 MPa dalam tegangan dan 100 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur sagging terbesar Mallow yang boleh ditanggung oleh rasuk.

bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 220 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = −60σy​ = 100τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

σx = −60 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = −40σy​ = 90τxy​ = 50MPa

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (σz = 0). Cari tegasan setara von Mises σvM.

σx = −40 MPaσy = 90 MPaτxy = 50 MPa
σvM = MPa
11.Pesongan rasukSederhana
P = 25 kNABδ3 m2 m

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 3 m dari penyokong A. Cari pesongan δP di bawah beban.

P = 25 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Pesongan rasukSukar
w = 6 kN/mδL = 4 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil Ireq yang memenuhi had ini.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu balak)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Lengkokan tiangSederhana
PL = 3 md = 50 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Lengkokan tiangSukar
PL = 1.5 md = 30 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σcr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 48.75 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.25/5.128 × 10⁻⁶ = 48749 N = 48.75 kN

Jawapan

P = 48.75 kN
2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.393 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 55.7 MPa
σ2 = 222.8 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 55.7·500/100000 = 0.2785 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 222.8·1000/200000 = 1.114 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.393 mm

Jawapan

δ = 1.393 mm
3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 7.47 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·38350) = 0.1304 rad
φ = 0.1304·180/π = 7.47°

Jawapan

φ = 7.47°
4.Kilasan aci

Jawapan: φC = 1.197 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·1/1.5 = 666.7 N·m
TB = 1000·0.5/1.5 = 333.3 N·m

Putaran C

Gunakan segmen AC: ia terikat pada A dan membawa TA.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 666667·500/(26000·613592) = 0.02089 rad = 1.197°

Jawapan

φC = 1.197°
5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 22.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: RB·L − M0 = 0. Keseimbangan menegak: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/8 = 5.625 kN (ke atas)
RA = −RB = −5.625 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi RA dan pasangan daya.

Mx = RA·a + M0 = −5.625·4 + 45 = 22.5 kN·m

Jawapan

Mx = 22.5 kN·m
6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 45.83 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·1 + 5·6·3
RB = 130/6 = 21.67 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 21.67 = 48.33 kN
w = 5 kN/mP = 40 kNABRA​ = 48.33RB​ = 21.67keratan1 m5 m

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 48.33·1 − 5·1·0.5 = 45.83 kN·m

Jawapan

Mx = 45.83 kN·m
7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Ix = 71.27 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 280 + 15/2 = 287.5 mm
web: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·287.5 + 3920·140)/8420 = 218.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·15³/12 + 4500·(287.5 − 218.8)² = 2.13 × 10⁷ mm⁴
web: 14·280³/12 + 3920·(140 − 218.8)² = 4.997 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.13 × 10⁷ + 4.997 × 10⁷ = 7.127 × 10⁷ mm⁴ = 71.27 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 71.27 × 10⁶ mm⁴
8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Mallow = 15.17 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (2100·227.5 + 4400·110)/6500 = 148 mm
tepi atas: c = 235 − 148 = 87.04 mm

Momen luas kedua

I = 140·15³/12 + 2100·79.54² + 20·220³/12 + 4400·37.96² = 3.741 × 10⁷ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Sagging: bahagian atas dalam mampatan, bahagian bawah dalam tegangan.

tepi atas: M = 100·3.741 × 10⁷/87.04 = 42.98 kN·m
tepi bawah: M = 60·3.741 × 10⁷/148 = 15.17 kN·m

Nilai penentu

Mallow = min = 15.17 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

Mallow = 15.17 kN·m
9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 85.44 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCτmax​

Jejari bulatan Mohr

τmax = R = √(((−60 − 100)/2)² + 30²) = 85.44 MPa

Jawapan

τmax = 85.44 MPa
10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σvM = 144.2 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegasan utama

C = 25 MPa, R = 82.01 MPa
σ1 = 107 MPa, σ2 = −57.01 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(107² − 107·(−57.01) + (−57.01)²) = 144.2 MPa

Jawapan

σvM = 144.2 MPa
11.Pesongan rasuk

Jawapan: δP = 5.263 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 25000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 25000·3000²·2000²/(3·1.14 × 10¹³·5000) = 5.263 mm

Jawapan

δP = 5.263 mm
12.Pesongan rasuk

Jawapan: Ireq = 163.6 × 10⁶ mm⁴

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Had pesongan

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·4000⁴/(384·11000·11.11) = 1.636 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 163.6 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ireq = 163.6 × 10⁶ mm⁴
13.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 67.29 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67.29 kN

Jawapan

Pcr = 67.29 kN
14.Lengkokan tiang

Jawapan: σcr = 35.25 MPa

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/7.5 = 140

Tegasan kritikal

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

Jawapan

σcr = 35.25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials