Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 500 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegasan dibenarkan 100 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 2.5 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 15 kN pada 3 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 180 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 170 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 16 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

b = 180 mmh = 170 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = −40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −60 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 275 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = 110 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 8 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 45 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1504 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·9346 = 9.975 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 300000·500/9.975 × 10⁸ = 0.1504 mm

Jawapan

δ = 0.1504 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 656.6 kN

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·8482 = 6.566 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.001429) = 0.001 (keluli)

Beban terbesar

P_max = 0.001·6.566 × 10⁸ = 656593 N = 656.6 kN

Jawapan

P_max = 656.6 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 3.507 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(39000·251327) = 0.06121 rad

φ = 0.06121·180/π = 3.507°

Jawapan

φ = 3.507°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 20.26 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3.77 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.91 × 10⁶·40/3.77 × 10⁶ = 20.26 MPa

Jawapan

τ_max = 20.26 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −6 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 24 − 12·2.5 = −6 kN

Jawapan

V_x = −6 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 53 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·3 + 4·10·5

R_B = 245/10 = 24.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 24.5 = 30.5 kN

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 30.5·2 − 4·2·1 = 53 kN·m

Jawapan

M_x = 53 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 22.93 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 180·16 = 2880 mm², y₁ = 8 mm

dua kaki: A₂ = 2·16·154 = 4928 mm², y₂ = 16 + 154/2 = 93 mm

Sentroid

ȳ = (2880·8 + 4928·93)/7808 = 61.65 mm

Teorem paksi selari

bes: 180·16³/12 + 2880·(8 − 61.65)² = 8.35 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·16·154³/12 + 4928·(93 − 61.65)² = 1.458 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.35 × 10⁶ + 1.458 × 10⁷

I_x = 2.293 × 10⁷ mm⁴ = 22.93 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 22.93 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 132 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (40000·100 − 2400·120)/(40000 − 2400) = 98.72 mm

Plat penuh pada ȳ

200·200³/12 + 40000·1.277² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

60·40³/12 + 2400·21.28² = 1.406 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 132 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 132 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 50 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = −10 MPa, R = √((−30)² + (−40)²) = 50 MPa

σ₁ = 40 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 40, 60)/2 = 50 MPa

Jawapan

τ_abs = 50 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ mempunyai tanda yang berlawanan, maka maksimum dalam satah R juga ialah maksimum mutlak.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 1.464

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 25 MPa, R = 93.94 MPa

σ₁ = 118.9 MPa, σ₂ = −68.94 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 187.9 MPa

n = 275/187.9 = 1.464

Jawapan

n = 1.464

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.471 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 1.471 mm

Jawapan

δ_max = 1.471 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 41.07 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 8000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 8000·6000³/(48·2.52 × 10¹²) = 14.29 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 26.79 mm

Tambahkannya

δ_max = 14.29 + 26.79 = 41.07 mm

Jawapan

δ_max = 41.07 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 34.38 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1750² = 34376 N = 34.38 kN

Jawapan

P_cr = 34.38 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 63.62 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 63.62 mm

Jawapan

d = 63.62 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 264.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials