Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 70 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 100 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 1800 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 1800 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 3 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mP = 55 kN pada 2.5 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 250 mm dan setebal 18 mm, kedalaman keseluruhan 340 mm dan web setebal 14 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 250 mmH = 340 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 120 × 24 mm, web setinggi 360 mm dan setebal 16 mm, dan bebibir bawah 290 × 12 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 120 × 24 mmweb: 16 × 360 mmbebibir bawah: 290 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 45° ikut arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 1.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 15 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban titik P di tengah rentang. EI adalah malar. Cari magnitud momen lentur M_A pada hujung tetap.

L = 6 mP = 30 kN pada 3 m

M_A = kN·m

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.228 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 70·1000/314.2 = 222.8 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 222.8/200000 = 0.001114 = 1114 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001114·2000 mm = 2.228 mm

Jawapan

δ = 2.228 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 497.4 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 203.7 MPa

σ₂ = 497.4 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 497.4 MPa

Jawapan

σ_max = 497.4 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 1.167 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·613592) = 0.02037 rad

φ = 0.02037·180/π = 1.167°

Jawapan

φ = 1.167°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 16.51 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 10000/188.5 = 53.05 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·53052/(π·60)) = 16.51 mm

Jawapan

d = 16.51 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 3 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Potong pada x = 3 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 4·3 − 2·3·1.5 = 3 kN·m

Jawapan

M_x = 3 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 65.83 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2.5 + 5·6·3

R_B = 227.5/6 = 37.92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 37.92 = 47.08 kN

Potong pada x = 4 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 47.08·4 − 55·(4 − 2.5) − 5·4·2 = 65.83 kN·m

Jawapan

M_x = 65.83 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 266.3 × 10⁶ mm⁴

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 340 − 2·18 = 304 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·340³ − 236·304³)/12

I_x = 2.663 × 10⁸ mm⁴ = 266.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 266.3 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 288.2 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 2880 mm², y = 384 mm

web: A = 5760 mm², y = 192 mm

bebibir bawah: A = 3480 mm², y = 6 mm

Sentroid

ȳ = (2880·384 + 5760·192 + 3480·6)/12120 = 184.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 120·24³/12 + 2880·199.8² = 1.151 × 10⁸ mm⁴

web: 16·360³/12 + 5760·7.782² = 6.256 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 290·12³/12 + 3480·178.2² = 1.106 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1.151 × 10⁸ + 6.256 × 10⁷ + 1.106 × 10⁸

I_x = 2.882 × 10⁸ mm⁴ = 288.2 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 288.2 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 100 MPa

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 50 − 20·0 − 50·(−1) = 100 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 0 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 100 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 110.9 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 60 MPa, R = 53.85 MPa

σ₁ = 113.9 MPa, σ₂ = 6.148 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(113.9² − 113.9·6.148 + 6.148²) = 110.9 MPa

Jawapan

σ_vM = 110.9 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 4.688 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 15000·1500²·3500²/(3·5.88 × 10¹²·5000) = 4.688 mm

Jawapan

δ_P = 4.688 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: M_A = 33.75 kN·m

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·30/16 = 9.375 kN

Momen pada hujung tetap

Momen pada A bagi beban dan daya topang.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 90 − 56.25 = 33.75 kN·m

Jawapan

M_A = 33.75 kN·m

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 188 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/1750² = 187992 N = 188 kN

Jawapan

P_cr = 188 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 38.86 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133.3

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

Jawapan

σ_cr = 38.86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials