Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 75 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 115 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1.5 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 30 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1000 N·m dikenakan pada C, 0.5 m dari A dan 2 m dari B. Cari sudut putaran φ_C keratan C, dalam darjah.

d = 30 mmT₀ = 1000 N·ma = 0.5 mb = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 0 m45 kN @ 12 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 20 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 6 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 55 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 4.974 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 75·1000/113.1 = 663.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 663.1/200000 = 0.003316 = 3316 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.003316·1500 mm = 4.974 mm

Jawapan

δ = 4.974 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 8.321 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 162.7 MPa

σ₂ = 1017 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 162.7·500/117000 = 0.6953 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1017·1500/200000 = 7.626 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8.321 mm

Jawapan

δ = 8.321 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.192 °

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·251327) = 0.03826 rad

φ = 0.03826·180/π = 2.192°

Jawapan

φ = 2.192°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 7.39 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·2/2.5 = 800 N·m

T_B = 1000·0.5/2.5 = 200 N·m

Putaran C

Gunakan segmen AC: ia terikat pada A dan membawa T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 800000·500/(39000·79522) = 0.129 rad = 7.39°

Jawapan

φ_C = 7.39°

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 15 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 16·2.5 − 8·2.5·1.25 = 15 kN·m

Jawapan

M_x = 15 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 83.75 kN, R₂ = 61.25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = 7.5, M_D = −25, M_E = −57.5, M_F = −90 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −90 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 43.25 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

web: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·230 + 3960·110)/7560 = 167.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 180·20³/12 + 3600·(230 − 167.1)² = 1.434 × 10⁷ mm⁴

web: 18·220³/12 + 3960·(110 − 167.1)² = 2.89 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.434 × 10⁷ + 2.89 × 10⁷ = 4.325 × 10⁷ mm⁴ = 43.25 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 43.25 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 24.4 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

web: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·245 + 4320·120)/7320 = 171.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·10³/12 + 3000·(245 − 171.2)² = 1.635 × 10⁷ mm⁴

web: 18·240³/12 + 4320·(120 − 171.2)² = 3.207 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.635 × 10⁷ + 3.207 × 10⁷ = 4.842 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 250 − 171.2 = 78.77 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·78.77/4.842 × 10⁷ = 24.4 MPa

Jawapan

σ_atas = 24.4 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −34.1 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 10/26.93 = 0.3714, sin 2θ_s = −25/26.93 = −0.9285

2θ_s = atan2(−25, 10) = −68.2°

Sudut pada unsur

θ_s = −34.1°

semakan: θ_s − θ_p = −34.1 − 10.9 = −45°

Jawapan

θ_s = −34.1°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 15.32 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −0·0.6428 + 20·0.766 = 15.32 MPa

Jawapan

τ_θ = 15.32 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 15.87 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 20000·2000³/(3·3.99 × 10¹²) = 13.37 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 2.506 mm

Tambahkannya

δ = 13.37 + 2.506 = 15.87 mm

Jawapan

δ = 15.87 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.201 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 6000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·3000³/(48·7.2 × 10¹²) = 0.4688 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 0.7324 mm

Tambahkannya

δ_max = 0.4688 + 0.7324 = 1.201 mm

Jawapan

δ_max = 1.201 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 56.06 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2800² = 56060 N = 56.06 kN

Jawapan

P_cr = 56.06 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 62.13 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 62.13 mm

Jawapan

d = 62.13 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 112.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials