Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 105 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 20 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 60 mm terikat pada A. Tork 1500 N·m bertindak pada B, 0.8 m dari A, dan tork 2000 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 2.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 2000 N·mAB = 0.8 mBC = 2.5 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 10 mP₁ = 60 kN pada 1 mP₂ = 30 kN pada 4 m

M_max = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 4 mP = 55 kN pada 2 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 4 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 120 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 84 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 210 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 20° ikut arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −30 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 2 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 1353 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314.2 = 270.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 270.6/200000 = 0.001353 = 1353 µε

Jawapan

ε = 1353 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 7.319 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 148.5 MPa

σ₂ = 334.2 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 148.5·500/117000 = 0.6348 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 334.2·2000/100000 = 6.685 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7.319 mm

Jawapan

δ = 7.319 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 9.119 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·15708) = 0.1592 rad

φ = 0.1592·180/π = 9.119°

Jawapan

φ = 9.119°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 47.16 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 1500 = 500 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·60³) = 47.16 MPa

Jawapan

τ_max = 47.16 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 108 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·1 + 30·4

R_B = 180/10 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 18 = 72 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·1 = 72·1 = 72 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·6 = 18·6 = 108 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 108 kN·m (di bawah P₂)

Jawapan

M_max = 108 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 71 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2 + 8·4·2

R_B = 174/4 = 43.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 43.5 = 43.5 kN

Di manakah V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 27.5 kN

V(2⁺) = 27.5 − 55 = −27.5 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 43.5·2 − 8·2²/2 = 71 kN·m

Jawapan

M_max = 71 kN·m

Ia berlaku pada x = 2 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 136.4 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (28800·120 − 1257·84)/(28800 − 1257) = 121.6 mm

Plat penuh pada ȳ

120·240³/12 + 28800·−1.642² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−37.64² = 1.906 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 136.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 136.4 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 215.3 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (30000·150 − 2400·210)/(30000 − 2400) = 144.8 mm

Plat penuh pada ȳ

100·300³/12 + 30000·5.217² = 225.8 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

60·40³/12 + 2400·65.22² = 10.53 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 215.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 215.3 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −50.91 MPa

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −20 − (−10)·0.766 − (−60)·(−0.6428) = −50.91 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 10.91 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −50.91 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 97.98 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 60 MPa, R = 44.72 MPa

σ₁ = 104.7 MPa, σ₂ = 15.28 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(104.7² − 104.7·15.28 + 15.28²) = 97.98 MPa

Jawapan

σ_vM = 97.98 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 73.98 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·1.32 × 10¹¹) = 73.98 mm

Jawapan

δ = 73.98 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 138.1 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·3000⁴/(384·11000·8.333) = 1.381 × 10⁸ mm⁴

I_req = 138.1 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 138.1 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 48.83 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·1500 = 750 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/750² = 48835 N = 48.83 kN

Jawapan

P_cr = 48.83 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 49.35 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

Jawapan

σ_cr = 49.35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials