Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 30 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 10 kW pada 500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

25 kN @ 4 m12 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 6 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 240 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 110 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 10 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

b = 240 mmh = 110 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 100 × 18 mm, web setinggi 350 mm dan setebal 16 mm, dan bebibir bawah 240 × 18 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 100 × 18 mmweb: 16 × 350 mmbebibir bawah: 240 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −10 MPa dan σᵧ = −20 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 25 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 25 MPa

τ_xy = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 600 mm dan ketebalan dinding 12 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2.5 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 30° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 600 mmt = 12 mmp = 2.5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 2 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 27 kNa = 2 mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 30 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 42.15 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706.9) = 4.716 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.4/9.49 × 10⁻⁶ = 42148 N = 42.15 kN

Jawapan

P = 42.15 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 13.93 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 30000·175929/301593 = 17500 N

Tegasan

σ₂ = 17500/1257 = 13.93 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 13.93 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 5.261 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·251327) = 0.09182 rad

φ = 0.09182·180/π = 5.261°

Jawapan

φ = 5.261°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 23.49 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23.49 mm

Jawapan

d = 23.49 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 24.33 kN, R₂ = 48.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 24.33, M_C = 48.67, M_D = 67, M_E = 73.33 kN·m, M_F = 42.67, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 73.33 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 25 kN, R₂ = 45 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 50 kN·m, M_D = 15, M_E = −20, M_F = −10, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 50 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 4.987 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 240·10 = 2400 mm², y₁ = 5 mm

dua kaki: A₂ = 2·10·100 = 2000 mm², y₂ = 10 + 100/2 = 60 mm

Sentroid

ȳ = (2400·5 + 2000·60)/4400 = 30 mm

Teorem paksi selari

bes: 240·10³/12 + 2400·(5 − 30)² = 1.52 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·10·100³/12 + 2000·(60 − 30)² = 3.467 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.52 × 10⁶ + 3.467 × 10⁶

I_x = 4.987 × 10⁶ mm⁴ = 4.987 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 4.987 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 246.2 × 10⁶ mm⁴

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 1800 mm², y = 377 mm

web: A = 5600 mm², y = 193 mm

bebibir bawah: A = 4320 mm², y = 9 mm

Sentroid

ȳ = (1800·377 + 5600·193 + 4320·9)/11720 = 153.4 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 100·18³/12 + 1800·223.6² = 9.001 × 10⁷ mm⁴

web: 16·350³/12 + 5600·39.56² = 6.593 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 240·18³/12 + 4320·144.4² = 9.024 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.001 × 10⁷ + 6.593 × 10⁷ + 9.024 × 10⁷

I_x = 2.462 × 10⁸ mm⁴ = 246.2 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 246.2 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 39.69 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (−10 + (−20))/2 = −15 MPa

R = σ₁ − C = 25 − (−15) = 40 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 5²) = 39.69 MPa

Jawapan

τ_xy = 39.69 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 54.69 MPa

Tegasan dinding

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2.5·300/12 = 62.5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 31.25 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 31.25·sin²30° + 62.5·cos²30° = 54.69 MPa

Jawapan

σ_n = 54.69 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 72.73 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 27000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 27000·2000²·4000²/(3·1.32 × 10¹²·6000) = 72.73 mm

Jawapan

δ_P = 72.73 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 66.25 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 30000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·4000³/(48·1.61 × 10¹²) = 24.84 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 41.41 mm

Tambahkannya

δ_max = 24.84 + 41.41 = 66.25 mm

Jawapan

δ_max = 66.25 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 32.75 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32.75 kN

Jawapan

P_cr = 32.75 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 12.34 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

Jawapan

σ_cr = 12.34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials