Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 20 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 120 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 80 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 50 mm terikat pada A. Tork 2000 N·m bertindak pada B, 1.5 m dari A, dan tork 100 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 2 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 50 mmT_B = 2000 N·mT_C = 100 N·mAB = 1.5 mBC = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

35 kN @ 6 m10 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2.5 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur sagging maksimum M_max di antara penyokong.

L = 10.5 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 10.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 8 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 25 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 10 MPa, σᵧ = −40 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 300 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = −30 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 2.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 14 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2313 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314.2 = 270.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 270.6/117000 = 0.002313 = 2313 µε

Jawapan

ε = 2313 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 546.6 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·8482 = 9.111 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0006, 0.0008) = 0.0006 (keluli)

Beban terbesar

P_max = 0.0006·9.111 × 10⁸ = 546637 N = 546.6 kN

Jawapan

P_max = 546.6 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.923 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·251327) = 0.05101 rad

φ = 0.05101·180/π = 2.923°

Jawapan

φ = 2.923°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 6.345 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 2000 = −1900 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −1.9 × 10⁶·1500/(39000·613592) = −0.1191 rad

φ_BC = 100000·2000/(39000·613592) = 0.008358 rad

Kilasan hujung C

φ_C = −0.1191 + 0.008358 = −0.1107 rad → |φ_C| = 6.345°

Jawapan

φ_C = 6.345°

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 19.17 kN, R₂ = 25.83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 38.33, M_C = 76.67, M_D = 115 kN·m, M_E = 83.33, M_F = 51.67, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 115 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 52.11 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·10.5 = 84 kN, bertindak pada x̄ = 5.25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·10.5·5.25

R_B = 441/8 = 55.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 55.13 = 28.88 kN

Daya ricih sifar

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 28.88/8 = 3.609 m

Momen sagging maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 28.88²/(2·8) = 52.11 kN·m

Jawapan

M_max = 52.11 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 59.71 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

web: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·265 + 4680·130)/7680 = 182.7 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·10³/12 + 3000·(265 − 182.7)² = 2.033 × 10⁷ mm⁴

web: 18·260³/12 + 4680·(130 − 182.7)² = 3.938 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.033 × 10⁷ + 3.938 × 10⁷ = 5.971 × 10⁷ mm⁴ = 59.71 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 59.71 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 95.2 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152.5 mm

web: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·152.5 + 2240·70)/5240 = 117.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 120·25³/12 + 3000·(152.5 − 117.2)² = 3.888 × 10⁶ mm⁴

web: 16·140³/12 + 2240·(70 − 117.2)² = 8.656 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3.888 × 10⁶ + 8.656 × 10⁶ = 1.254 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 165 − 117.2 = 47.77 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·47.77/1.254 × 10⁷ = 95.2 MPa

Jawapan

σ_atas = 95.2 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −25.67 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 20/32.02 = 0.6247, sin 2θ_s = −25/32.02 = −0.7809

2θ_s = atan2(−25, 20) = −51.34°

Sudut pada unsur

θ_s = −25.67°

semakan: θ_s − θ_p = −25.67 − 19.33 = −45°

Jawapan

θ_s = −25.67°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 3.841

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 10 MPa, R = 44.72 MPa

σ₁ = 54.72 MPa, σ₂ = −34.72 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(54.72² − 54.72·(−34.72) + (−34.72)²) = 78.1 MPa

n = 300/78.1 = 3.841

Jawapan

n = 3.841

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 3.567 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 14000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·2500²·1500²/(3·4.6 × 10¹²·4000) = 3.567 mm

Jawapan

δ_P = 3.567 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 5.232 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·70000·6.944) = 5.232 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5.232 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 5.232 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 49.13 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·1500 = 750 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/750² = 49129 N = 49.13 kN

Jawapan

P_cr = 49.13 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 8.567 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12.5 = 480

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

Jawapan

σ_cr = 8.567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials