Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 800 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNrod: Ø25 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 85 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 25 mm, panjang 1 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 1500 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 1500 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 60 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1500 N·m dikenakan pada C, 1.2 m dari A dan 3 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 60 mmT₀ = 1500 N·ma = 1.2 mb = 3 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 10 kN pada 2.5 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 290 mm dan diameter dalam d = 278 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 290 mmd = 278 mm

r = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 60 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 150 mmpotongan: 60 × 30 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 70 MPa dan σᵧ = −50 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 95 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 95 MPa

τ_xy = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 140 MPa, σᵧ = 10 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 2 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 18 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 55 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.2484 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·5890 = 8.05 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·800/8.05 × 10⁸ = 0.2484 mm

Jawapan

δ = 0.2484 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 5.43 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 120.3 MPa

σ₂ = 422.8 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 120.3·2000/200000 = 1.203 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 422.8·2000/200000 = 4.228 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.43 mm

Jawapan

δ = 5.43 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 3.831 °

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Sudut piuhan

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·1000/(39000·575243) = 0.06686 rad

φ = 0.06686·180/π = 3.831°

Jawapan

φ = 3.831°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 25.26 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·3/4.2 = 1071 N·m

T_B = 1500·1.2/4.2 = 428.6 N·m

Tegasan ricih maksimum

Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·1.071 × 10⁶/(π·60³) = 25.26 MPa

Jawapan

τ_max = 25.26 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 8.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 20·0.5 − 10·0.5·0.25 = 8.75 kN·m

Jawapan

M_x = 8.75 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 50 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2.5 + 12·5·2.5

R_B = 175/5 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 35 = 35 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 35·2.5 − 12·2.5·1.25 = 50 kN·m

Jawapan

M_x = 50 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 100.4 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 5353 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5.4 × 10⁷ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(5.4 × 10⁷/5353) = 100.4 mm

Jawapan

r = 100.4 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 27.53 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (15000·75 − 1800·60)/(15000 − 1800) = 77.05 mm

Plat penuh pada ȳ

100·150³/12 + 15000·−2.045² = 28.19 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

60·30³/12 + 1800·−17.05² = 0.658 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 27.53 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 27.53 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 60.21 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (70 + (−50))/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 95 − 10 = 85 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 60²) = 60.21 MPa

Jawapan

τ_xy = 60.21 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 105 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 75 + 65·0 + 30·1 = 105 MPa

Jawapan

σ_θ = 105 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 8.658 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·2000²·1000²/(3·9.24 × 10¹¹·3000) = 8.658 mm

Jawapan

δ_P = 8.658 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 3.616 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·70000·8.333) = 3.616 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3.616 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 3.616 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 10.66 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/5000² = 10659 N = 10.66 kN

Jawapan

P_cr = 10.66 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 54.96 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·55000 = 137500 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 54.96 mm

Jawapan

d = 54.96 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 109.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials