Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 30 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 10 mm dipiuh oleh tork 30 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 250 mm berputar 11.22° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 30 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 11.22°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 25 mm terikat pada A. Tork 250 N·m bertindak pada B, 3 m dari A, dan tork 100 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 0.5 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 25 mmT_B = 250 N·mT_C = 100 N·mAB = 3 mBC = 0.5 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P₁ di antara penyokong dan beban titik P₂ pada C. Cari momen lentur M_x di bawah beban P₁. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6 mP₁ = 65 kN pada 2 mP₂ = 55 kN pada 6 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 50 kN pada 1.5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 220 mm dan setebal 18 mm, kedalaman keseluruhan 500 mm dan web setebal 14 mm. Ia menanggung momen lentur 100 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur σ_j pada simpang antara web dengan bebibir atas.

B = 220 mmH = 500 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 50 mm membawa daya tegangan paksi 50 kN bersama-sama dengan tork 2000 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 50 mmF = 50 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 115.4 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2.274 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.4/3.467 × 10⁻⁶ = 115363 N = 115.4 kN

Jawapan

P = 115.4 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 8.827 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 30000·622035/747699 = 24958 N

Tegasan

σ₂ = 24958/2827 = 8.827 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 8.827 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 39.01 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴

φ = 11.22·π/180 = 0.1958 rad

Modulus ricih

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(981.7·0.1958) = 39011 MPa

G = 39.01 GPa

Jawapan

G = 39.01 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 114.1 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 250 = 350 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 350 N·m

τ_max = 16·350000/(π·25³) = 114.1 MPa

Jawapan

τ_max = 114.1 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 56 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·2 + 55·6

R_B = 460/5 = 92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 92 = 28 kN

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri

M_x = R_A·2 = 28·2 = 56 kN·m

Jawapan

M_x = 56 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 56.25 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1.5 + 6·5·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 30 = 50 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 50·2.5 − 50·(2.5 − 1.5) − 6·2.5·1.25 = 56.25 kN·m

Jawapan

M_x = 56.25 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 68.08 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272.5 mm

web: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·272.5 + 5200·130)/8200 = 182.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 120·25³/12 + 3000·(272.5 − 182.1)² = 2.465 × 10⁷ mm⁴

web: 20·260³/12 + 5200·(130 − 182.1)² = 4.343 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.465 × 10⁷ + 4.343 × 10⁷ = 6.808 × 10⁷ mm⁴ = 68.08 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 68.08 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_j = 40.22 MPa

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 500 − 2·18 = 464 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·500³ − 206·464³)/12

I_x = 5.768 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 250 − 18 = 232 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·232/5.768 × 10⁸ = 40.22 MPa

Jawapan

σ_j = 40.22 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 18.78 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 80 − −50) = 37.57°

Sudut pada unsur

θ_p = 18.78°

Jawapan

θ_p = 18.78°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 95.21 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = 50000/(π·50²/4) = 50000/1963 = 25.46 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81.49 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 12.73 MPa

R = √(12.73² + 81.49²) = 82.48 MPa

σ₁ = C + R = 95.21 MPa

σ₂ = C − R = −69.74 MPa

Jawapan

σ₁ = 95.21 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.838 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 1.838 mm

Jawapan

δ_max = 1.838 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 29.3 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·5000⁴/(384·200000·13.89) = 2.93 × 10⁷ mm⁴

I_req = 29.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 29.3 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 177.2 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2800² = 177179 N = 177.2 kN

Jawapan

P_cr = 177.2 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 137.1 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6.25 = 120

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137.1 MPa

Jawapan

σ_cr = 137.1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Kilasan aci

Kaedah

Daya ricih & momen lentur

Kaedah

Sentroid & momen luas kedua

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Kaedah

Pesongan rasuk

Lengkokan tiang

2Soalan latihan

3Larutan

Luas

Kelenturan

Beban

Jawapan

Kekakuan

Bahagian segmen 2

Tegasan

Jawapan

Momen kutub dan sudut

Modulus ricih

Jawapan

Tork dalaman

Tegasan ricih maksimum

Jawapan

Tindak balas penyokong

Keratan di bawah P1 dan simpan bahagian kiri

Jawapan

Tindak balas penyokong

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Jawapan

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Sentroid

Teorem paksi selari

Jawapan

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Tegasan lenturan

Jawapan

Sudut pada bulatan

Sudut pada unsur

Jawapan

Tegasan pada permukaan

Bulatan Mohr

Jawapan

Unit yang konsisten

Pesongan

Jawapan

Had pesongan

Momen luas kedua yang diperlukan

Jawapan

Momen luas kedua terkecil

Panjang berkesan

Beban kritikal

Jawapan

Momen luas kedua terkecil

Jejari legaran dan kelangsingan

Tegasan kritikal

Jawapan

Keratan di bawah P₁ dan simpan bahagian kiri