Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.2 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 95 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal 2 m panjang membawa tork 1500 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 3°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 1500 N·mL = 2 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal memindahkan 30 kW pada 1450 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 1° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 1.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 1.5 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur M_B pada penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 8 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 8 mpenyokong pada x = 0 dan x = 6 m

M_B = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 120 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 80 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 80 × 40 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 80 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 500 mm dan ketebalan dinding 6 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 3 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 40° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 500 mmt = 6 mmp = 3 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 19 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 48.27 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2.021 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.2/4.143 × 10⁻⁶ = 48273 N = 48.27 kN

Jawapan

P = 48.27 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 840 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 98.74 MPa

σ₂ = 840 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 840 MPa

Jawapan

σ_max = 840 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 51.97 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0.05236 rad

J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·2000/(80000·0.05236) = 716197 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 51.97 mm

Jawapan

d = 51.97 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 41.47 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 197.6 N·m = 197572 N·mm

d_τ = ∛(16·197572/(π·50)) = 27.2 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·197572/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 41.47 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(27.2, 41.47) = 41.47 mm

Jawapan

d = 41.47 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = 6 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 24 − 12·1.5 = 6 kN

Jawapan

V_x = 6 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_B = −10 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·8·4

R_B = 160/6 = 26.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 26.67 = 13.33 kN

Keratan pada B dan simpan juluran

Beban pada juluran, w·a, bertindak pada a/2 dari B dan menyebabkan rasuk melentur secara hogging di atas penyokong.

M_B = −w·a²/2 = −5·2²/2 = −10 kN·m

Jawapan

M_B = −10 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 51.64 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

web: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·235 + 4400·110)/8600 = 171 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 140·30³/12 + 4200·(235 − 171)² = 1.749 × 10⁷ mm⁴

web: 20·220³/12 + 4400·(110 − 171)² = 3.414 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.749 × 10⁷ + 3.414 × 10⁷ = 5.164 × 10⁷ mm⁴ = 51.64 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 51.64 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 266.4 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (36000·150 − 3200·120)/(36000 − 3200) = 152.9 mm

Plat penuh pada ȳ

120·300³/12 + 36000·−2.927² = 270.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

80·40³/12 + 3200·−32.93² = 3.896 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 266.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 266.4 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 49.73 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 80 − 100) = 99.46°

Sudut pada unsur

θ_p = 49.73°

Jawapan

θ_p = 49.73°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 99.18 MPa

Tegasan dinding

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 3·250/6 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62.5 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 62.5·sin²40° + 125·cos²40° = 99.18 MPa

Jawapan

σ_n = 99.18 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.03557 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 8·3000³/(24·2.53 × 10¹¹) = 0.03557 rad

Jawapan

θ_A = 0.03557 rad

Itu ialah 2.038°.

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.875 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·3.2 × 10¹³) = 0.7917 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 2.083 mm

Tambahkannya

δ_max = 0.7917 + 2.083 = 2.875 mm

Jawapan

δ_max = 2.875 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 99.49 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1250² = 99486 N = 99.49 kN

Jawapan

P_cr = 99.49 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 47.98 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6.25 = 120

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47.98 MPa

Jawapan

σ_cr = 47.98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials