Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 400 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNrod: Ø30 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 80 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 100 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 250 mm berputar 2.34° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 100 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 2.34°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal berdiameter 60 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1500 N·m dikenakan pada C, 0.8 m dari A dan 3 m dari B. Cari sudut putaran φ_C keratan C, dalam darjah.

d = 60 mmT₀ = 1500 N·ma = 0.8 mb = 3 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

30 kN @ 6 m55 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

25 kN @ 0 m50 kN @ 12 m15 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 80 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 144 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 240 mmpotongan: 80 × 40 mmpusat lubang: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 90 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 25° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari tindak balas R_B pada topang.

L = 4 mw = 15 kN/m

R_B = kN

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 140 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.06063 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·8482 = 9.896 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·400/9.896 × 10⁸ = 0.06063 mm

Jawapan

δ = 0.06063 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 18.76 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 80000·989602/1.492 × 10⁶ = 53053 N

Tegasan

σ₂ = 53053/2827 = 18.76 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 18.76 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 38.97 GPa

Momen kutub dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2.34·π/180 = 0.04084 rad

Modulus ricih

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·250/(15708·0.04084) = 38970 MPa

G = 38.97 GPa

Jawapan

G = 38.97 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 1.641 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·3/3.8 = 1184 N·m

T_B = 1500·0.8/3.8 = 315.8 N·m

Putaran C

Gunakan segmen AC: ia terikat pada A dan membawa T_A.

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 1.184 × 10⁶·800/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.02864 rad = 1.641°

Jawapan

φ_C = 1.641°

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 60.83 kN, R₂ = 24.17 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 121.7, M_C = 133.3, M_D = 145 kN·m, M_E = 96.67, M_F = 48.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 145 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 10 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 22.5 kN, R₂ = 67.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −55, M_D = −60, M_E = −65, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −100 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 59.51 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

web: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·255 + 3360·120)/11160 = 214.4 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 260·30³/12 + 7800·(255 − 214.4)² = 1.347 × 10⁷ mm⁴

web: 14·240³/12 + 3360·(120 − 214.4)² = 4.604 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.347 × 10⁷ + 4.604 × 10⁷ = 5.951 × 10⁷ mm⁴ = 59.51 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 59.51 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (48000·120 − 3200·144)/(48000 − 3200) = 118.3 mm

Plat penuh pada ȳ

200·240³/12 + 48000·1.714² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

80·40³/12 + 3200·25.71² = 2.543 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 42.62 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −60 − −70) = 85.24°

Sudut pada unsur

θ_p = 42.62°

Jawapan

θ_p = 42.62°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 126.5 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 85 + 5·0.6428 + 50·0.766 = 126.5 MPa

Jawapan

σ_θ = 126.5 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.899 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 2.899 mm

Jawapan

δ_max = 2.899 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: R_B = 22.5 kN

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22.5 kN

Jawapan

R_B = 22.5 kN

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 70.32 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2500² = 70322 N = 70.32 kN

Jawapan

P_cr = 70.32 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 92.84 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 92.84 mm

Jawapan

d = 92.84 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 129.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials