Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.

P = 45 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 105 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 100 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.75 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 50 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 1500 N·m dikenakan pada C, 1 m dari A dan 0.5 m dari B. Cari tork tindak balas T_A pada dinding A.

d = 50 mmT₀ = 1500 N·ma = 1 mb = 0.5 m

T_A = N·m

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 1.5 m dari A. Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 2 mP = 65 kN pada 1.5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 2 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mP = 45 kN pada 3 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 25 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 25 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = −60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 40° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu balak)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.273 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 45·1000/706.9 = 63.66 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 63.66/100000 = 0.0006366 = 636.6 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0006366·2000 mm = 1.273 mm

Jawapan

δ = 1.273 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 13.47 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 83.56 MPa

σ₂ = 928.4 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 83.56·500/200000 = 0.2089 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 928.4·1000/70000 = 13.26 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 13.47 mm

Jawapan

δ = 13.47 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 21.5 mm

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·75·0.6836)) = 21.5 mm

d_i = 0.75·21.5 = 16.12 mm

Jawapan

d_o = 21.5 mm

Aci pepejal memerlukan d = 18.94 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: T_A = 500 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·0.5/1.5 = 500 N·m

T_B = 1500·1/1.5 = 1000 N·m

Jawapan

T_A = 500 N·m

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −71.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −65·1 = −65 kN·m

w: −6·1.5²/2 = −6.75 kN·m

M_x = −65 − 6.75 = −71.75 kN·m

Jawapan

M_x = −71.75 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 86.25 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·3 + 5·8·4

R_B = 295/8 = 36.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 36.88 = 48.13 kN

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 48.13·2 − 5·2·1 = 86.25 kN·m

Jawapan

M_x = 86.25 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 15.89 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192.5 mm

web: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·192.5 + 1440·90)/6440 = 169.6 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 200·25³/12 + 5000·(192.5 − 169.6)² = 2.887 × 10⁶ mm⁴

web: 8·180³/12 + 1440·(90 − 169.6)² = 1.301 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.887 × 10⁶ + 1.301 × 10⁷ = 1.589 × 10⁷ mm⁴ = 15.89 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 15.89 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 158.5 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

web: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·255 + 1920·120)/6120 = 212.6 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 140·30³/12 + 4200·(255 − 212.6)² = 7.849 × 10⁶ mm⁴

web: 8·240³/12 + 1920·(120 − 212.6)² = 2.57 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.849 × 10⁶ + 2.57 × 10⁷ = 3.355 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 212.6 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·212.6/3.355 × 10⁷ = 158.5 MPa

Jawapan

σ_bawah = 158.5 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 47.71 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = −65 MPa, R = √(5² + 30²) = 30.41 MPa

σ₁ = −34.59 MPa, σ₂ = −95.41 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60.83, 34.59, 95.41)/2 = 47.71 MPa

Jawapan

τ_abs = 47.71 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 36.34 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −10 + 40·0.1736 + 40·0.9848 = 36.34 MPa

Jawapan

σ_θ = 36.34 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 10.17 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 10.17 mm

Jawapan

δ = 10.17 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 639.2 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·5000⁴/(384·11000·13.89) = 6.392 × 10⁸ mm⁴

I_req = 639.2 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 639.2 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 3.454 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/8000² = 3454 N = 3.454 kN

Jawapan

P_cr = 3.454 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 55.08 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12.5 = 112

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55.08 MPa

Jawapan

σ_cr = 55.08 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials