Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.25 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 250 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 100 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 400 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 25 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 200 N·m dikenakan pada C, 0.8 m dari A dan 1.5 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 25 mmT₀ = 200 N·ma = 0.8 mb = 1.5 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P₁ di antara penyokong dan beban titik P₂ pada C. Cari daya ricih V_x sejurus di sebelah kiri penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 9 mP₁ = 15 kN pada 2 mP₂ = 10 kN pada 9 mpenyokong pada x = 0 dan x = 8 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur M_B pada penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 9 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 9 mpenyokong pada x = 0 dan x = 8 m

M_B = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −40 MPa dan σᵧ = 20 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 40 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 40 MPa

τ_xy = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −10 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 15° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 2.5 m dari penyokong B. Cari pesongan δ_mid di tengah rentang.

P = 27 kNb = 2.5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 140 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 108.7 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7.074 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0.25/2.299 × 10⁻⁶ = 108747 N = 108.7 kN

Jawapan

P = 108.7 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 827.9 kN

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·7461 = 9.935 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00125, 0.0008333) = 0.0008333 (kuprum)

Beban terbesar

P_max = 0.0008333·9.935 × 10⁸ = 827941 N = 827.9 kN

Jawapan

P_max = 827.9 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.9119 °

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·251327) = 0.01592 rad

φ = 0.01592·180/π = 0.9119°

Jawapan

φ = 0.9119°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 42.52 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1.5/2.3 = 130.4 N·m

T_B = 200·0.8/2.3 = 69.57 N·m

Tegasan ricih maksimum

Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·130435/(π·25³) = 42.52 MPa

Jawapan

τ_max = 42.52 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −5 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·2 + 10·9

R_B = 120/8 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 15 = 10 kN

Keratan sejurus di sebelah kiri B dan simpan bahagian kiri

V_x = R_A − P₁ = 10 − 15 = −5 kN

Jawapan

V_x = −5 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_B = −6 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·9 = 108 kN, bertindak pada x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·9·4.5

R_B = 486/8 = 60.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 108 − 60.75 = 47.25 kN

Keratan pada B dan simpan juluran

Beban pada juluran, w·a, bertindak pada a/2 dari B dan menyebabkan rasuk melentur secara hogging di atas penyokong.

M_B = −w·a²/2 = −12·1²/2 = −6 kN·m

Jawapan

M_B = −6 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 108.9 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307.5 mm

web: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·307.5 + 6000·150)/10500 = 217.5 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·15³/12 + 4500·(307.5 − 217.5)² = 3.653 × 10⁷ mm⁴

web: 20·300³/12 + 6000·(150 − 217.5)² = 7.234 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.653 × 10⁷ + 7.234 × 10⁷ = 1.089 × 10⁸ mm⁴ = 108.9 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 108.9 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 69.22 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

web: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·145 + 1680·70)/3880 = 112.5 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·10³/12 + 2200·(145 − 112.5)² = 2.338 × 10⁶ mm⁴

web: 12·140³/12 + 1680·(70 − 112.5)² = 5.782 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.338 × 10⁶ + 5.782 × 10⁶ = 8.121 × 10⁶ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 150 − 112.5 = 37.47 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·37.47/8.121 × 10⁶ = 69.22 MPa

Jawapan

σ_atas = 69.22 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 40 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (−40 + 20)/2 = −10 MPa

R = σ₁ − C = 40 − (−10) = 50 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 30²) = 40 MPa

Jawapan

τ_xy = 40 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 15.98 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −20·0.5 + 30·0.866 = 15.98 MPa

Jawapan

τ_θ = 15.98 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 2.506 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 2.506 mm

Jawapan

δ = 2.506 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_mid = 46.32 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 27000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 27000·2500·(3·6000² − 4·2500²)/(48·2.52 × 10¹²) = 46.32 mm

Jawapan

δ_mid = 46.32 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 16.82 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16.82 kN

Jawapan

P_cr = 16.82 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 102 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 102 mm

Jawapan

d = 102 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 196, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials