Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 25 mmLoyang2.5 mP = 10 kN

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tegasan & terikan paksiSukar
Ø 30 mmAluminium0.5 mØ 20 mmAluminium1 mP = 75 kN

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σmax dalam bar itu.

P = 75 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Kilasan aciSederhana
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2.5 mφ = ?

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
do​ = ?20 kW, 1800 rpm

Aci berongga mesti memindahkan 20 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.8 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 20 kWN = 1800 rpmdi/do = 0.8τallow = 80 MPa
do = mm
5.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 50 kNP2​ = 35 kNABC3.5 m1.5 m1 m

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P1 di antara penyokong dan beban titik P2 pada C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6 mP1 = 50 kN pada 3.5 mP2 = 35 kN pada 6 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m
Mx = kN·m
6.Daya ricih & momen lenturSukar
30 kN35 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

30 kN @ 0 m35 kN @ 12 m60 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Sentroid & momen luas keduaSederhana
120 mm150 mm90 mmØ50xIx​ = ?

Plat 120 mm × 150 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 90 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Sentroid & momen luas keduaSukar
20017018160128xdimensi dalam mm

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 200 × 18 mm, web setinggi 160 mm dan setebal 8 mm, dan bebibir bawah 170 × 12 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya Ix pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 200 × 18 mmweb: 8 × 160 mmbebibir bawah: 170 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 70σy​ = 100τxy​ = 20MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

σx = 70 MPaσy = 100 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 160σy​ = 20τxy​ = 30MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 35° lawan arah jam dari paksi-x.

σx = 160 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.Pesongan rasukSederhana
w = 6 kN/mδL = 4 m

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Pesongan rasukSukar
w = 5 kN/mδL = 2 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil Ireq yang memenuhi had ini.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Lengkokan tiangSederhana
PL = 1 md = 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Lengkokan tiangSukar
P = 40 kNL = 3 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 40 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 203.7 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 10·1000/490.9 = 20.37 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 20.37/100000 = 0.0002037 = 203.7 µε

Jawapan

ε = 203.7 µε
2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σmax = 238.7 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 106.1 MPa
σ2 = 238.7 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σmax = 238.7 MPa

Jawapan

σmax = 238.7 MPa
3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 7.124 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(80000·251327) = 0.1243 rad
φ = 0.1243·180/π = 7.124°

Jawapan

φ = 7.124°
4.Kilasan aci

Jawapan: do = 22.53 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 20000/188.5 = 106.1 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 106.1 N·m = 106103 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·106103/(π·80·0.5904)) = 22.53 mm
di = 0.8·22.53 = 18.03 mm

Jawapan

do = 22.53 mm

Aci pepejal memerlukan d = 18.9 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 28 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·3.5 + 35·6
RB = 385/5 = 77 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 77 = 8 kN

Keratan di bawah P1 dan simpan bahagian kiri

Mx = RA·3.5 = 8·3.5 = 28 kN·m

Jawapan

Mx = 28 kN·m
6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 56.67 kN, R2 = 68.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −60, MC = −6.667, MD = −73.33, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0

Jawapan

Tanda E: ME = −140 kN·m
7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Ix = 32.95 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (18000·75 − 1963·90)/(18000 − 1963) = 73.16 mm

Plat penuh pada ȳ

120·150³/12 + 18000·1.837² = 33.81 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·50⁴/64 + 1963·16.84² = 0.8634 × 10⁶ mm⁴

Tolak

Ix = 32.95 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 32.95 × 10⁶ mm⁴
8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Ix = 43.42 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 3600 mm², y = 181 mm
web: A = 1280 mm², y = 92 mm
bebibir bawah: A = 2040 mm², y = 6 mm

Sentroid

ȳ = (3600·181 + 1280·92 + 2040·6)/6920 = 112.9 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 200·18³/12 + 3600·68.05² = 1.677 × 10⁷ mm⁴
web: 8·160³/12 + 1280·20.95² = 3.292 × 10⁶ mm⁴
bebibir bawah: 170·12³/12 + 2040·106.9² = 2.336 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.677 × 10⁷ + 3.292 × 10⁶ + 2.336 × 10⁷
Ix = 4.342 × 10⁷ mm⁴ = 43.42 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 43.42 × 10⁶ mm⁴
9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 25 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

σxyCτmax​

Jejari bulatan Mohr

τmax = R = √(((70 − 100)/2)² + 20²) = 25 MPa

Jawapan

τmax = 25 MPa
10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σθ = 142.1 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

σθ = 90 + 70·0.342 + 30·0.9397 = 142.1 MPa

Jawapan

σθ = 142.1 MPa
11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 8 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 8 mm

Jawapan

δ = 8 mm
12.Pesongan rasuk

Jawapan: Ireq = 2.679 × 10⁶ mm⁴

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Had pesongan

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·2000⁴/(384·70000·5.556) = 2.679 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2.679 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ireq = 2.679 × 10⁶ mm⁴
13.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 109.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109.9 kN

Jawapan

Pcr = 109.9 kN
14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 67.88 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 67.88 mm

Jawapan

d = 67.88 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 176.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials