Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 75 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 30 mm terikat pada A. Tork 200 N·m bertindak pada B, 2.5 m dari A, dan tork 250 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 3 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 30 mmT_B = 200 N·mT_C = 250 N·mAB = 2.5 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 5 m dari A. Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 5 mP = 30 kN pada 5 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 8 mw = 24 kN/m dari 2 hingga 8 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 300 mm dan diameter dalam d = 268 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 300 mmd = 268 mm

r = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 10 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −70 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 45° ikut arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 30 mm membawa momen lentur 200 N·m bersama-sama dengan tork 1500 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmM = 200 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 5 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 21 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 90 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 90 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.02533 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·9346 = 1.184 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 50000·600/1.184 × 10⁹ = 0.02533 mm

Jawapan

δ = 0.02533 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 373 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 59.68 MPa

σ₂ = 373 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 373 MPa

Jawapan

σ_max = 373 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 10.52 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(26000·251327) = 0.1836 rad

φ = 0.1836·180/π = 10.52°

Jawapan

φ = 10.52°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 16.89 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 200 = 450 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 450000·2500/(80000·79522) = 0.1768 rad

φ_BC = 250000·3000/(80000·79522) = 0.1179 rad

Kilasan hujung C

φ_C = 0.1768 + 0.1179 = 0.2947 rad → |φ_C| = 16.89°

Jawapan

φ_C = 16.89°

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −103.5 kN·m

Simpan bahagian hujung bebas

P: −30·3 = −90 kN·m

w: −3·3²/2 = −13.5 kN·m

M_x = −90 − 13.5 = −103.5 kN·m

Jawapan

M_x = −103.5 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 168.8 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 24·6 = 144 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 24·6·5

R_B = 720/8 = 90 kN

ΣF_y = 0: R_A = 144 − 90 = 54 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 54/24 = 4.25 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 54·4.25 − 24·2.25²/2 = 168.8 kN·m

Jawapan

M_max = 168.8 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 100.6 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 14275 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.444 × 10⁸ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(1.444 × 10⁸/14275) = 100.6 mm

Jawapan

r = 100.6 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 161 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152.5 mm

web: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·152.5 + 1120·70)/8120 = 141.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 280·25³/12 + 7000·(152.5 − 141.1)² = 1.271 × 10⁶ mm⁴

web: 8·140³/12 + 1120·(70 − 141.1)² = 7.494 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.271 × 10⁶ + 7.494 × 10⁶ = 8.765 × 10⁶ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 141.1 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·141.1/8.765 × 10⁶ = 161 MPa

Jawapan

σ_bawah = 161 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −70 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −60 − (−10)·0 − (−10)·(−1) = −70 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = −50 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −120 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −70 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 323.2 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·30³) = 75.45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282.9 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 37.73 MPa

R = √(37.73² + 282.9²) = 285.4 MPa

σ₁ = C + R = 323.2 MPa

σ₂ = C − R = −247.7 MPa

Jawapan

σ₁ = 323.2 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.303 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 1.303 mm

Jawapan

δ_max = 1.303 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 24.84 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·6000³/(48·7.2 × 10¹²) = 13.13 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 11.72 mm

Tambahkannya

δ_max = 13.13 + 11.72 = 24.84 mm

Jawapan

δ_max = 24.84 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 9.995 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/3000² = 9995 N = 9.995 kN

Jawapan

P_cr = 9.995 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 60.05 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·90000 = 225000 N

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 60.05 mm

Jawapan

d = 60.05 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 93.25, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials