Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 75 kW pada 300 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 8 mP₁ = 20 kN pada 5 mP₂ = 80 kN pada 7 m

M_max = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari jarak x₀ dari A ke keratan di mana momen lentur paling besar.

L = 5 mw = 10 kN/m dari 1 hingga 5 m

x₀ = m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 120 mm × 150 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 60 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 40 MPa dalam tegangan dan 90 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 110 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −40 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = −40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (keluli)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δ_max rasuk.

P = 24 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 5290 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113.1 = 618.9 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 618.9/117000 = 0.00529 = 5290 µε

Jawapan

ε = 5290 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 511.3 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·5890 = 7.304 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.0007) = 0.0007 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0007·7.304 × 10⁸ = 511294 N = 511.3 kN

Jawapan

P_max = 511.3 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.8768 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·251327) = 0.0153 rad

φ = 0.0153·180/π = 0.8768°

Jawapan

φ = 0.8768°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 164.7 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2.387 × 10⁶·25/362265 = 164.7 MPa

Jawapan

τ_max = 164.7 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 87.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·5 + 80·7

R_B = 660/8 = 82.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 82.5 = 17.5 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·5 = 17.5·5 = 87.5 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·1 = 82.5·1 = 82.5 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 87.5 kN·m (di bawah P₁)

Jawapan

M_max = 87.5 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x₀ = 2.6 m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·4·3

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 24 = 16 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 16/10 = 2.6 m

Jawapan

x₀ = 2.6 m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 33.32 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (18000·75 − 1257·60)/(18000 − 1257) = 76.13 mm

Plat penuh pada ȳ

120·150³/12 + 18000·−1.126² = 33.77 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−16.13² = 0.4524 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 33.32 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 33.32 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 31.69 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (5600·250 + 4800·120)/10400 = 190 mm

tepi atas: c = 260 − 190 = 70 mm

Momen luas kedua

I = 280·20³/12 + 5600·60² + 20·240³/12 + 4800·70² = 6.691 × 10⁷ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Hogging: bahagian atas dalam tegangan, bahagian bawah dalam mampatan.

tepi atas: M = 40·6.691 × 10⁷/70 = 38.23 kN·m

tepi bawah: M = 90·6.691 × 10⁷/190 = 31.69 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 31.69 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 31.69 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 60 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 110 MPa, R = √(0² + 10²) = 10 MPa

σ₁ = 120 MPa, σ₂ = 100 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(20, 120, 100)/2 = 60 MPa

Jawapan

τ_abs = 60 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −42.92 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −25 + −15·0.766 + −10·0.6428 = −42.92 MPa

Jawapan

σ_θ = −42.92 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 1.404 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 1.404 mm

Jawapan

δ = 1.404 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 63.25 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Pesongan maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 63.25 mm

Jawapan

δ_max = 63.25 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 3.598 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/5000² = 3598 N = 3.598 kN

Jawapan

P_cr = 3.598 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 34.27 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa

Jawapan

σ_cr = 34.27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials