Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 30 mm terikat pada A. Tork 100 N·m bertindak pada B, 1.2 m dari A, dan tork 500 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 0.8 m lagi ke hadapan. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 500 N·mAB = 1.2 mBC = 0.8 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 5 mP₁ = 50 kN pada 1 mP₂ = 40 kN pada 2.5 m

M_max = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 0 m55 kN @ 6 m25 kN @ 2 m4 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 30 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 20 MPa dan σᵧ = 90 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 145 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 145 MPa

τ_xy = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = −70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 30° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = −30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 2 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δ_max rasuk.

P = 25 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 15 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 15 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 560.2 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490.9 = 112 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 112/200000 = 0.0005602 = 560.2 µε

Jawapan

ε = 560.2 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 180.1 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·2199 = 2.521 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.0007143) = 0.0007143 (aluminium)

Beban terbesar

P_max = 0.0007143·2.521 × 10⁸ = 180081 N = 180.1 kN

Jawapan

P_max = 180.1 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 1.754 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·251327) = 0.03061 rad

φ = 0.03061·180/π = 1.754°

Jawapan

φ = 1.754°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 113.2 MPa

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 100 = 600 N·m

Tegasan ricih maksimum

Segmen dengan tork dalaman terbesar mempunyai tegasan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 600 N·m

τ_max = 16·600000/(π·30³) = 113.2 MPa

Jawapan

τ_max = 113.2 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 40·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 30 = 60 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·1 = 60·1 = 60 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·2.5 = 30·2.5 = 75 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 75 kN·m (di bawah P₂)

Jawapan

M_max = 75 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 25.5 kN, R₂ = 80.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −10, M_C = 3.5, M_D = −12, M_E = −31.5, M_F = −55 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −55 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 91.15 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

web: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·310 + 4200·150)/9400 = 238.5 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 260·20³/12 + 5200·(310 − 238.5)² = 2.675 × 10⁷ mm⁴

web: 14·300³/12 + 4200·(150 − 238.5)² = 6.44 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.675 × 10⁷ + 6.44 × 10⁷ = 9.115 × 10⁷ mm⁴ = 91.15 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 91.15 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 207.3 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

web: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·215 + 2000·100)/8000 = 186.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 200·30³/12 + 6000·(215 − 186.3)² = 5.409 × 10⁶ mm⁴

web: 10·200³/12 + 2000·(100 − 186.3)² = 2.154 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.409 × 10⁶ + 2.154 × 10⁷ = 2.695 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 186.3 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·186.3/2.695 × 10⁷ = 207.3 MPa

Jawapan

σ_bawah = 207.3 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 82.92 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (20 + 90)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 145 − 55 = 90 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 35²) = 82.92 MPa

Jawapan

τ_xy = 82.92 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −14.02 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −50 + 20·0.5 + 30·0.866 = −14.02 MPa

Jawapan

σ_θ = −14.02 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 3.275 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 3.275 mm

Jawapan

δ_max = 3.275 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 66.81 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 25000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Pesongan maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 66.81 mm

Jawapan

δ_max = 66.81 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 205.6 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1000² = 205617 N = 205.6 kN

Jawapan

P_cr = 205.6 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 36.14 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 36.14 mm

Jawapan

d = 36.14 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 232.4, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials