Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 400 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNrod: Ø30 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 400 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 50 kW pada 300 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

50 kN @ 6 m4 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 4 mP = 45 kN pada 1 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 4 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 230 mm dan setebal 22 mm, kedalaman keseluruhan 340 mm dan web setebal 8 mm. Ia menanggung momen lentur 120 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur maksimum σ_max dalam keratan.

B = 230 mmH = 340 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −20 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 45° ikut arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 50 mm membawa momen lentur 1500 N·m bersama-sama dengan tork 1500 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 50 mmM = 1500 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1286 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·4006 = 6.22 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·400/6.22 × 10⁸ = 0.1286 mm

Jawapan

δ = 0.1286 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 6.042 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 23.87 MPa

σ₂ = 265.3 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 23.87·1500/100000 = 0.3581 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265.3·1500/70000 = 5.684 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6.042 mm

Jawapan

δ = 6.042 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.9119 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·251327) = 0.01592 rad

φ = 0.01592·180/π = 0.9119°

Jawapan

φ = 0.9119°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 18.19 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.592 × 10⁶·40/3.5 × 10⁶ = 18.19 MPa

Jawapan

τ_max = 18.19 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 33 kN, R₂ = 33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 66, M_C = 132, M_D = 190 kN·m, M_E = 132, M_F = 66, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 190 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 39.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1 + 4·4·2

R_B = 77/4 = 19.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 19.25 = 41.75 kN

Di manakah V = 0?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 37.75 kN

V(1⁺) = 37.75 − 45 = −7.25 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 41.75·1 − 4·1²/2 = 39.75 kN·m

Jawapan

M_max = 39.75 kN·m

Ia berlaku pada x = 1 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 38.89 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247.5 mm

web: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·247.5 + 2880·120)/6180 = 188.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·15³/12 + 3300·(247.5 − 188.1)² = 1.171 × 10⁷ mm⁴

web: 12·240³/12 + 2880·(120 − 188.1)² = 2.717 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.171 × 10⁷ + 2.717 × 10⁷ = 3.889 × 10⁷ mm⁴ = 38.89 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 38.89 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_max = 74.58 MPa

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 340 − 2·22 = 296 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·340³ − 222·296³)/12

I_x = 2.735 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 170 mm

σ = M·y/I = 1.2 × 10⁸·170/2.735 × 10⁸ = 74.58 MPa

Jawapan

σ_max = 74.58 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −15 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 5 − (−25)·0 − (−20)·(−1) = −15 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 25 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −15 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 86.43 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·50³) = 122.2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61.12 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 61.12 MPa

R = √(61.12² + 61.12²) = 86.43 MPa

Jawapan

τ_max = 86.43 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 1.831 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 1.831 mm

Jawapan

δ = 1.831 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 41.85 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·5000⁴/(384·70000·13.89) = 4.185 × 10⁷ mm⁴

I_req = 41.85 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 41.85 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 9.646 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·6000 = 12000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/12000² = 9646 N = 9.646 kN

Jawapan

P_cr = 9.646 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 49.35 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12.5 = 200

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

Jawapan

σ_cr = 49.35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials