Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 110 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal 2 m panjang membawa tork 750 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 0.5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 750 N·mL = 2 mG = 26 GPaφ_allow = 0.5°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 75 kW pada 1000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 1 m dari A. Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 4 mP = 60 kN pada 1 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 10 mP = 35 kN pada 1 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 10 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 300 mmpotongan: 30 × 30 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = 60 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (keluli)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 90 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 90 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 40.39 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706.9) = 7.074 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.4/9.903 × 10⁻⁶ = 40392 N = 40.39 kN

Jawapan

P = 40.39 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 11.23 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 87.54 MPa

σ₂ = 547.1 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87.54·1500/70000 = 1.876 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547.1·2000/117000 = 9.352 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11.23 mm

Jawapan

δ = 11.23 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 90.59 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·2000/(26000·0.008727) = 6.611 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 90.59 mm

Jawapan

d = 90.59 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 41.78 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·50)) = 41.78 mm

Jawapan

d = 41.78 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −60.63 kN·m

Simpan bahagian hujung bebas

P: −60·0.5 = −30 kN·m

w: −5·3.5²/2 = −30.63 kN·m

M_x = −30 − 30.63 = −60.63 kN·m

Jawapan

M_x = −60.63 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 168 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·1 + 12·10·5

R_B = 635/10 = 63.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 63.5 = 91.5 kN

Di manakah V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (91.5 − 35)/12 = 4.708 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 168 kN·m

Jawapan

M_max = 168 kN·m

Ia berlaku pada x = 4.708 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 46.69 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232.5 mm

web: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·232.5 + 3520·110)/9020 = 184.7 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·25³/12 + 5500·(232.5 − 184.7)² = 1.286 × 10⁷ mm⁴

web: 16·220³/12 + 3520·(110 − 184.7)² = 3.384 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.286 × 10⁷ + 3.384 × 10⁷ = 4.669 × 10⁷ mm⁴ = 46.69 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 46.69 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 449.1 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (60000·150 − 900·120)/(60000 − 900) = 150.5 mm

Plat penuh pada ȳ

200·300³/12 + 60000·−0.4569² = 450 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·30³/12 + 900·−30.46² = 0.9024 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 449.1 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 449.1 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 18.09 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 25 MPa, R = √((−5)² + (−10)²) = 11.18 MPa

σ₁ = 36.18 MPa, σ₂ = 13.82 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(22.36, 36.18, 13.82)/2 = 18.09 MPa

Jawapan

τ_abs = 18.09 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 57.6 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 55 + −5·0.766 + −10·−0.6428 = 57.6 MPa

Jawapan

σ_θ = 57.6 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 5.536 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 5.536 mm

Jawapan

δ_max = 5.536 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 2.25 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·200000·5.556) = 2.25 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.25 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 2.25 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 248.1 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248.1 kN

Jawapan

P_cr = 248.1 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 70.77 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 70.77 mm

Jawapan

d = 70.77 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 169.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials