Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.3 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 120 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 30 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 20 kW pada 1450 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 5 mP₁ = 45 kN pada 2 mP₂ = 55 kN pada 3 m

M_max = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 10 mP = 55 kN pada 6 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 10 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 20 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 800 mm dan ketebalan dinding 12 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 0.8 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 30° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 800 mmt = 12 mmp = 0.8 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 1.5 m dari A. Cari pesongan δ_B pada hujung bebas B.

P = 19 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 2 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (kayu balak)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 90.48 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1.326 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.3/3.316 × 10⁻⁶ = 90478 N = 90.48 kN

Jawapan

P = 90.48 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 12.22 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 30000·785398/981748 = 24000 N

Tegasan

σ₂ = 24000/1963 = 12.22 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 12.22 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 8.314 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·79522) = 0.1451 rad

φ = 0.1451·180/π = 8.314°

Jawapan

φ = 8.314°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 23.76 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·131714/(π·50)) = 23.76 mm

Jawapan

d = 23.76 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 102 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·2 + 55·3

R_B = 255/5 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 51 = 49 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·2 = 49·2 = 98 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·2 = 51·2 = 102 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 102 kN·m (di bawah P₂)

Jawapan

M_max = 102 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 192 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·6 + 5·10·5

R_B = 580/10 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 58 = 47 kN

Di manakah V = 0?

V(6⁻) = R_A − w·6 = 17 kN

V(6⁺) = 17 − 55 = −38 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·6 − w·6²/2 = 47·6 − 5·6²/2 = 192 kN·m

Jawapan

M_max = 192 kN·m

Ia berlaku pada x = 6 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 7.083 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112.5 mm

web: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·112.5 + 2000·50)/6000 = 91.67 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 160·25³/12 + 4000·(112.5 − 91.67)² = 1.944 × 10⁶ mm⁴

web: 20·100³/12 + 2000·(50 − 91.67)² = 5.139 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.944 × 10⁶ + 5.139 × 10⁶ = 7.083 × 10⁶ mm⁴ = 7.083 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 7.083 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 36.99 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

web: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·215 + 3200·100)/7400 = 165.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 140·30³/12 + 4200·(215 − 165.3)² = 1.07 × 10⁷ mm⁴

web: 16·200³/12 + 3200·(100 − 165.3)² = 2.43 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.07 × 10⁷ + 2.43 × 10⁷ = 3.5 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 230 − 165.3 = 64.73 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·64.73/3.5 × 10⁷ = 36.99 MPa

Jawapan

σ_atas = 36.99 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −32.61 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 30/71.59 = 0.4191, sin 2θ_s = −65/71.59 = −0.908

2θ_s = atan2(−65, 30) = −65.22°

Sudut pada unsur

θ_s = −32.61°

semakan: θ_s − θ_p = −32.61 − 12.39 = −45°

Jawapan

θ_s = −32.61°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 23.33 MPa

Tegasan dinding

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0.8·400/12 = 26.67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 13.33 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 13.33·sin²30° + 26.67·cos²30° = 23.33 MPa

Jawapan

σ_n = 23.33 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_B = 8.036 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δ_P = Pa³/(3EI) = 5.357 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.005357 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8.036 mm

Jawapan

δ_B = 8.036 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 2.876 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·1500⁴/(384·11000·4.167) = 2.876 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.876 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 2.876 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 8.188 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/6000² = 8188 N = 8.188 kN

Jawapan

P_cr = 8.188 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 1.079 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/12.5 = 800

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1.079 MPa

Jawapan

σ_cr = 1.079 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials