Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 250 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 60 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 50 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 6 mP = 35 kN pada 3.5 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 6 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 120 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 84 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 50 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 195 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 50 × 40 mmpusat lubang: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 140 MPa, σᵧ = 10 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (keluli)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 125 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 2.5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 125 mm

h_req = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 110 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 110 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.07403 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·600/4.053 × 10⁸ = 0.07403 mm

Jawapan

δ = 0.07403 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 711.6 kN

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1.186 × 10⁹ N

Terikan penentu

ε = min(0.00125, 0.0006) = 0.0006 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0006·1.186 × 10⁹ = 711571 N = 711.6 kN

Jawapan

P_max = 711.6 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 1.915 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·38350) = 0.03343 rad

φ = 0.03343·180/π = 1.915°

Jawapan

φ = 1.915°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 8.364 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·37.5/2.141 × 10⁶ = 8.364 MPa

Jawapan

τ_max = 8.364 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 5.25 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 12·0.5 − 6·0.5·0.25 = 5.25 kN·m

Jawapan

M_x = 5.25 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 86.04 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3.5 + 8·6·3

R_B = 266.5/6 = 44.42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 44.42 = 38.58 kN

Di manakah V = 0?

V(3.5⁻) = R_A − w·3.5 = 10.58 kN

V(3.5⁺) = 10.58 − 35 = −24.42 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3.5 − w·3.5²/2 = 38.58·3.5 − 8·3.5²/2 = 86.04 kN·m

Jawapan

M_max = 86.04 kN·m

Ia berlaku pada x = 3.5 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 136.4 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (28800·120 − 1257·84)/(28800 − 1257) = 121.6 mm

Plat penuh pada ȳ

120·240³/12 + 28800·−1.642² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−37.64² = 1.906 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 136.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 136.4 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 220.4 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (30000·150 − 2000·195)/(30000 − 2000) = 146.8 mm

Plat penuh pada ȳ

100·300³/12 + 30000·3.214² = 225.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

50·40³/12 + 2000·48.21² = 4.916 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 220.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 220.4 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −60.8 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = −40/76.32 = −0.5241, sin 2θ_s = −65/76.32 = −0.8517

2θ_s = atan2(−65, −40) = −121.6°

Sudut pada unsur

θ_s = −60.8°

semakan: θ_s − θ_p = −60.8 − (−15.8) = −45°

Jawapan

θ_s = −60.8°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 83.07 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 45 MPa, R = 40.31 MPa

σ₁ = 85.31 MPa, σ₂ = 4.689 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(85.31² − 85.31·4.689 + 4.689²) = 83.07 MPa

Jawapan

σ_vM = 83.07 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 17.78 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·8000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 17.78 mm

Jawapan

δ_max = 17.78 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 280.6 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2.5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·6000⁴/(384·11000·16.67) = 2.301 × 10⁸ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·2.301 × 10⁸/125)^1/3 = 280.6 mm

Jawapan

h_req = 280.6 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 38.59 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38.59 kN

Jawapan

P_cr = 38.59 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 59.48 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·110000 = 275000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 59.48 mm

Jawapan

d = 59.48 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 141.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials