Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 160 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatiub: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 20 kW pada 1500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 10 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

30 kN @ 0 m30 kN @ 12 m20 kN @ 6 m12 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 40 MPa dalam tegangan dan 90 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 0 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 15° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 0 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 40 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 3 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 130 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 130 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 5002 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 110·1000/314.2 = 350.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 350.1/70000 = 0.005002 = 5002 µε

Jawapan

ε = 5002 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 395.8 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5027 = 5.655 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.0008, 0.0007) = 0.0007 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0007·5.655 × 10⁸ = 395841 N = 395.8 kN

Jawapan

P_max = 395.8 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 5.261 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(26000·251327) = 0.09182 rad

φ = 0.09182·180/π = 5.261°

Jawapan

φ = 5.261°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 22.11 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22.11 mm

Jawapan

d = 22.11 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 73.67 kN, R₂ = 80.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 123.3, M_C = 198.7, M_D = 226 kN·m, M_E = 205.3, M_F = 136.7, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 226 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 88 kN, R₂ = 88 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = 32, M_D = 76 kN·m, M_E = 32, M_F = −60, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 76 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 29.7 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227.5 mm

web: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·227.5 + 3080·110)/5180 = 157.6 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 140·15³/12 + 2100·(227.5 − 157.6)² = 1.029 × 10⁷ mm⁴

web: 14·220³/12 + 3080·(110 − 157.6)² = 1.941 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.029 × 10⁷ + 1.941 × 10⁷ = 2.97 × 10⁷ mm⁴ = 29.7 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 29.7 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 4.561 kN·m

Sentroid

ȳ = (5500·112.5 + 1200·50)/6700 = 101.3 mm

tepi atas: c = 125 − 101.3 = 23.69 mm

Momen luas kedua

I = 220·25³/12 + 5500·11.19² + 12·100³/12 + 1200·51.31² = 5.134 × 10⁶ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Hogging: bahagian atas dalam tegangan, bahagian bawah dalam mampatan.

tepi atas: M = 40·5.134 × 10⁶/23.69 = 8.668 kN·m

tepi bawah: M = 90·5.134 × 10⁶/101.3 = 4.561 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 4.561 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 4.561 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 35.31 MPa

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 35 − (−35)·0.866 − 60·0.5 = 35.31 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 34.69 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 35.31 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 93.81 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −5 MPa, R = 54.08 MPa

σ₁ = 49.08 MPa, σ₂ = −59.08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(49.08² − 49.08·(−59.08) + (−59.08)²) = 93.81 MPa

Jawapan

σ_vM = 93.81 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 47.94 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 47.94 mm

Jawapan

δ_max = 47.94 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 4.109 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 3000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·3000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 1.826 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 2.283 mm

Tambahkannya

δ_max = 1.826 + 2.283 = 4.109 mm

Jawapan

δ_max = 4.109 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 67.29 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67.29 kN

Jawapan

P_cr = 67.29 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 96.37 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 96.37 mm

Jawapan

d = 96.37 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 124.5, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials