Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana
Ø 30 mmAluminium2.5 mP = 45 kN

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Tegasan & terikan paksiSukar
Ø 30 mmLoyang1.5 mØ 20 mmAluminium1 mP = 20 kN

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σmax dalam bar itu.

P = 20 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Kilasan aciSederhana
do​ = ?T = 500 N·m

Aci berongga mesti membawa tork 500 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.6 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 500 N·mdi/do = 0.6τallow = 50 MPa
do = mm
4.Kilasan aciSukar
d = 40 mmTB​ = 1000 N·mTC​ = 100 N·mABC2.5 m0.8 m

Aci keluli pepejal berdiameter 40 mm terikat pada A. Tork 1000 N·m bertindak pada B, 2.5 m dari A, dan tork 100 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 0.8 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φC hujung C, dalam darjah.

d = 40 mmTB = 1000 N·mTC = 100 N·mAB = 2.5 mBC = 0.8 mG = 80 GPa
φC = °
5.Daya ricih & momen lenturSederhana
w = 12 kN/mABkeratan2 m6 m

Cari momen lentur Mx pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
6.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 8 kN/mP = 65 kNAB3 m3 m

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 6 mP = 65 kN pada 3 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 6 m
Mmax = kN·m
7.Sentroid & momen luas keduaSederhana
120 mm200 mm140 mmØ30xIx​ = ?

Plat 120 mm × 200 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 30 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 140 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 200 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Sentroid & momen luas keduaSukar
200 mm200 mm70 mm80 × 50xIx​ = ?

Plat 200 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 80 mm dan setinggi 50 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 70 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 80 × 50 mmpusat lubang: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = −80σy​ = 110τxy​ = 60MPa

Satu titik mempunyai σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θs, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σx = −80 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPa
θs = °
10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​ = 50σy​ = −30τxy​ = −40MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σθ pada satah yang normalnya diputar 35° lawan arah jam dari paksi-x.

σx = 50 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.Pesongan rasukSederhana
w = 6 kN/mP = 15 kNABδ2.5 m

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 15 kNw = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Pesongan rasukSukar
w = 20 kN/mδL = 3 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil Ireq yang memenuhi had ini.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Lengkokan tiangSederhana
PL = 2 md = 80 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Lengkokan tiangSukar
P = 120 kNL = 2 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 120 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 120 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (keluli)
d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 909.5 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 45·1000/706.9 = 63.66 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 63.66/70000 = 0.0009095 = 909.5 µε

Jawapan

ε = 909.5 µε
2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σmax = 63.66 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 28.29 MPa
σ2 = 63.66 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σmax = 63.66 MPa

Jawapan

σmax = 63.66 MPa
3.Kilasan aci

Jawapan: do = 38.82 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0.8704)) = 38.82 mm
di = 0.6·38.82 = 23.29 mm

Jawapan

do = 38.82 mm

Aci pepejal memerlukan d = 37.07 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: φC = 6.184 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tork dalaman

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 1000 = −900 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −900000·2500/(80000·251327) = −0.1119 rad
φBC = 100000·800/(80000·251327) = 0.003979 rad

Kilasan hujung C

φC = −0.1119 + 0.003979 = −0.1079 rad → |φC| = 6.184°

Jawapan

φC = 6.184°
5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mx = 72 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, bertindak pada x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 48RB​ = 48keratan2 m6 m

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 48·2 − 12·2·1 = 72 kN·m

Jawapan

Mx = 72 kN·m
6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 133.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 65·3 + 8·6·3
RB = 339/6 = 56.5 kN
ΣFy = 0: RA = 113 − 56.5 = 56.5 kN

Di manakah V = 0?

V(3⁻) = RA − w·3 = 32.5 kN
V(3⁺) = 32.5 − 65 = −32.5 kN
Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 56.5·3 − 8·3²/2 = 133.5 kN·m

Jawapan

Mmax = 133.5 kN·m

Ia berlaku pada x = 3 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Ix = 78.79 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (24000·100 − 706.9·140)/(24000 − 706.9) = 98.79 mm

Plat penuh pada ȳ

120·200³/12 + 24000·1.214² = 80.04 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·41.21² = 1.24 × 10⁶ mm⁴

Tolak

Ix = 78.79 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 78.79 × 10⁶ mm⁴
8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Ix = 128.5 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (40000·100 − 4000·70)/(40000 − 4000) = 103.3 mm

Plat penuh pada ȳ

200·200³/12 + 40000·−3.333² = 133.8 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

80·50³/12 + 4000·−33.33² = 5.278 × 10⁶ mm⁴

Tolak

Ix = 128.5 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 128.5 × 10⁶ mm⁴
9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θs = 28.86 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCτmax​

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θs = 60/112.4 = 0.534, sin 2θs = −(−95)/112.4 = 0.8455
2θs = atan2(95, 60) = 57.72°

Sudut pada unsur

θs = 28.86°
semakan: θs − θp = 28.86 − 73.86 = −45°

Jawapan

θs = 28.86°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σθ = −13.91 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi

σθ = 10 + 40·0.342 + −40·0.9397 = −13.91 MPa

Jawapan

σθ = −13.91 MPa
11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 3.357 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δP = PL³/(3EI) = 15000·2500³/(3·3.2 × 10¹³) = 2.441 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 0.9155 mm

Tambahkannya

δ = 2.441 + 0.9155 = 3.357 mm

Jawapan

δ = 3.357 mm
12.Pesongan rasuk

Jawapan: Ireq = 36.16 × 10⁶ mm⁴

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Had pesongan

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·3000⁴/(384·70000·8.333) = 3.616 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 36.16 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ireq = 36.16 × 10⁶ mm⁴
13.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 248.1 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248.1 kN

Jawapan

Pcr = 248.1 kN
14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 62.09 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·120000 = 360000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 62.09 mm

Jawapan

d = 62.09 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 128.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials