Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 80 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal memindahkan 5 kW pada 300 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 40 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.75° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0.75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 2 m35 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 4 mw = 24 kN/m dari 0 hingga 2 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 150 mm dan setebal 12 mm, kedalaman keseluruhan 400 mm dan web setebal 6 mm. Ia menanggung momen lentur 100 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur σ_j pada simpang antara web dengan bebibir atas.

B = 150 mmH = 400 mmt_f = 12 mmt_w = 6 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −40 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 100 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 3.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 30 kNa = 3.5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (keluli)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.05968 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8.042 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·600/8.042 × 10⁸ = 0.05968 mm

Jawapan

δ = 0.05968 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 32.86 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·1257/500 = 251327 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 80000·251327/486947 = 41290 N

Tegasan

σ₂ = 41290/1257 = 32.86 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 32.86 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 4.503 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·79522) = 0.0786 rad

φ = 0.0786·180/π = 4.503°

Jawapan

φ = 4.503°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 46.72 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 159.2 N·m = 159155 N·mm

d_τ = ∛(16·159155/(π·40)) = 27.26 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·159155/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))^1/4 = 46.72 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(27.26, 46.72) = 46.72 mm

Jawapan

d = 46.72 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 32.5 kN, R₂ = 42.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 32.5, M_C = 65 kN·m, M_D = 57.5, M_E = 50, M_F = 42.5, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 65 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 27 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·2·1

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 12 = 36 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 36/24 = 1.5 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 36·1.5 − 24·1.5²/2 = 27 kN·m

Jawapan

M_max = 27 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 31.53 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

web: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·210 + 2800·100)/8000 = 171.5 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 260·20³/12 + 5200·(210 − 171.5)² = 7.881 × 10⁶ mm⁴

web: 14·200³/12 + 2800·(100 − 171.5)² = 2.365 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.881 × 10⁶ + 2.365 × 10⁷ = 3.153 × 10⁷ mm⁴ = 31.53 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 31.53 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_j = 116 MPa

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 400 − 2·12 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·400³ − 144·376³)/12

I_x = 1.621 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 200 − 12 = 188 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·188/1.621 × 10⁸ = 116 MPa

Jawapan

σ_j = 116 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 52.2 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((−40 − −10)/2)² + −50²) = 52.2 MPa

Jawapan

τ_max = 52.2 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 10 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−10·1 + −50·0 = 10 MPa

Jawapan

τ_θ = 10 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 9.375 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 30000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 30000·3500²·1500²/(3·5.88 × 10¹²·5000) = 9.375 mm

Jawapan

δ_P = 9.375 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 24 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·8000⁴/(384·200000·22.22) = 2.4 × 10⁷ mm⁴

I_req = 24 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 24 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 7.05 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/4200² = 7050 N = 7.05 kN

Jawapan

P_cr = 7.05 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 4.441 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666.7

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa

Jawapan

σ_cr = 4.441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials