Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.

P = 15 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 120 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 250 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci berongga mesti memindahkan 100 kW pada 3000 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.75 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0.75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

15 kN @ 10 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1.5 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari jarak x_c dari A ke titik lenturan songsang di antara penyokong (di mana momen lentur bertukar tanda).

L = 5.5 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 5.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 4 m

x_c = m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 220 mm dan setebal 16 mm, kedalaman keseluruhan 300 mm dan web setebal 14 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 220 mmH = 300 mmt_f = 16 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 20 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 100 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 30 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 3.316 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113.1 = 132.6 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 132.6/100000 = 0.001326 = 1326 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001326·2500 mm = 3.316 mm

Jawapan

δ = 3.316 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 1061 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 244.5 MPa

σ₂ = 1061 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 1061 MPa

Jawapan

σ_max = 1061 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.7183 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·613592) = 0.01254 rad

φ = 0.01254·180/π = 0.7183°

Jawapan

φ = 0.7183°

4.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 38.99 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 318.3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·40·0.6836)) = 38.99 mm

d_i = 0.75·38.99 = 29.24 mm

Jawapan

d_o = 38.99 mm

Aci pepejal memerlukan d = 34.35 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 15.83 kN, R₂ = 19.17 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 31.67, M_C = 63.33 kN·m, M_D = 55, M_E = 46.67, M_F = 38.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 63.33 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x_c = 3.438 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·5.5 = 55 kN, bertindak pada x̄ = 2.75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·5.5·2.75

R_B = 151.3/4 = 37.81 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 37.81 = 17.19 kN

Momen sifar

Di antara penyokong M(x) = R_A·x − w·x²/2. Selain x = 0, ia sifar pada x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·17.19/10 = 3.438 m

Jawapan

x_c = 3.438 m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 164.6 × 10⁶ mm⁴

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 300 − 2·16 = 268 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·300³ − 206·268³)/12

I_x = 1.646 × 10⁸ mm⁴ = 164.6 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 164.6 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 51.64 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267.5 mm

web: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·267.5 + 3640·130)/5140 = 170.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 100·15³/12 + 1500·(267.5 − 170.1)² = 1.425 × 10⁷ mm⁴

web: 14·260³/12 + 3640·(130 − 170.1)² = 2.637 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.425 × 10⁷ + 2.637 × 10⁷ = 4.062 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 275 − 170.1 = 104.9 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·104.9/4.062 × 10⁷ = 51.64 MPa

Jawapan

σ_atas = 51.64 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 16.85 °

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 60 − 0) = 33.69°

Sudut pada unsur

θ_p = 16.85°

Jawapan

θ_p = 16.85°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 141.1 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 55 MPa, R = 75 MPa

σ₁ = 130 MPa, σ₂ = −20 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(130² − 130·(−20) + (−20)²) = 141.1 MPa

Jawapan

σ_vM = 141.1 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.659 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 1.659 mm

Jawapan

δ_max = 1.659 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 41.85 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·5000⁴/(384·70000·13.89) = 4.185 × 10⁷ mm⁴

I_req = 41.85 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 41.85 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 50.23 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/5000² = 50230 N = 50.23 kN

Jawapan

P_cr = 50.23 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 44.67 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 44.67 mm

Jawapan

d = 44.67 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 134.3, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials