Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 20 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 25 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 10 kW pada 750 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.5° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 1.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 1.5 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

20 kN @ 6 m30 kN @ 3 m4 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 50 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mmM = 50 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = 10 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 50° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 0.5 m dari A. Cari pesongan δ_B pada hujung bebas B.

P = 12 kNa = 0.5 mL = 2 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari tindak balas R_B pada topang.

L = 8 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.842 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201.1 = 99.47 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 99.47/70000 = 0.001421 = 1421 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001421·2000 mm = 2.842 mm

Jawapan

δ = 2.842 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 221 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 19.89 MPa

σ₂ = 221 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 221 MPa

Jawapan

σ_max = 221 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 1.754 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·251327) = 0.03061 rad

φ = 0.03061·180/π = 1.754°

Jawapan

φ = 1.754°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 36.92 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·50)) = 23.49 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 36.92 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(23.49, 36.92) = 36.92 mm

Jawapan

d = 36.92 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = 3 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2.5

R_B = 37.5/5 = 7.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7.5 = 7.5 kN

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 7.5 − 3·1.5 = 3 kN

Jawapan

V_x = 3 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 5.5 kN, R₂ = 60.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 3.5, M_C = 3, M_D = −1.5, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −40 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 21.75 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

web: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·190 + 2520·90)/6120 = 148.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 180·20³/12 + 3600·(190 − 148.8)² = 6.224 × 10⁶ mm⁴

web: 14·180³/12 + 2520·(90 − 148.8)² = 1.552 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.224 × 10⁶ + 1.552 × 10⁷ = 2.175 × 10⁷ mm⁴ = 21.75 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 21.75 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 108.1 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

web: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·175 + 3200·80)/8000 = 137 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 160·30³/12 + 4800·(175 − 137)² = 7.291 × 10⁶ mm⁴

web: 20·160³/12 + 3200·(80 − 137)² = 1.722 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.291 × 10⁶ + 1.722 × 10⁷ = 2.451 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 190 − 137 = 53 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·53/2.451 × 10⁷ = 108.1 MPa

Jawapan

σ_atas = 108.1 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 25 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 15 MPa, R = √(15² + 20²) = 25 MPa

σ₁ = 40 MPa, σ₂ = −10 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(50, 40, 10)/2 = 25 MPa

Jawapan

τ_abs = 25 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ mempunyai tanda yang berlawanan, maka maksimum dalam satah R juga ialah maksimum mutlak.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 93.88 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 40 + 30·−0.1736 + 60·0.9848 = 93.88 MPa

Jawapan

σ_θ = 93.88 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_B = 1.618 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0.2941 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0008824 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.618 mm

Jawapan

δ_B = 1.618 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: R_B = 24 kN

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·8/8 = 24 kN

Jawapan

R_B = 24 kN

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 5.712 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/6000² = 5712 N = 5.712 kN

Jawapan

P_cr = 5.712 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 4.318 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

Jawapan

σ_cr = 4.318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials