Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.5 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 25 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0.5 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 30 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 30 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

45 kN @ 4 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mP = 45 kN pada 2 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 120 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° ikut arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari magnitud momen lentur M_A pada hujung tetap.

L = 3 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 57.31 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706.9) = 2.358 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.5/8.724 × 10⁻⁶ = 57313 N = 57.31 kN

Jawapan

P = 57.31 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.8793 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 19.89 MPa

σ₂ = 124.3 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19.89·2000/70000 = 0.5684 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124.3·500/200000 = 0.3108 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.8793 mm

Jawapan

δ = 0.8793 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.6839 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·251327) = 0.01194 rad

φ = 0.01194·180/π = 0.6839°

Jawapan

φ = 0.6839°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 30 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 30000/104.7 = 286.5 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·20/190984 = 30 MPa

Jawapan

τ_max = 30 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 30 kN, R₂ = 45 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 27.5, M_C = 50, M_D = 67.5, M_E = 80 kN·m, M_F = 42.5, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 80 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 84 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 6·6·3

R_B = 198/6 = 33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 81 − 33 = 48 kN

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 48·2 − 6·2·1 = 84 kN·m

Jawapan

M_x = 84 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 10.1 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127.5 mm

web: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·127.5 + 2400·60)/6900 = 104 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·15³/12 + 4500·(127.5 − 104)² = 2.565 × 10⁶ mm⁴

web: 20·120³/12 + 2400·(60 − 104)² = 7.531 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.565 × 10⁶ + 7.531 × 10⁶ = 1.01 × 10⁷ mm⁴ = 10.1 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 10.1 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 19.24 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

web: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·310 + 3000·150)/6600 = 237.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 180·20³/12 + 3600·(310 − 237.3)² = 1.916 × 10⁷ mm⁴

web: 10·300³/12 + 3000·(150 − 237.3)² = 4.535 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.916 × 10⁷ + 4.535 × 10⁷ = 6.451 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 320 − 237.3 = 82.73 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·82.73/6.451 × 10⁷ = 19.24 MPa

Jawapan

σ_atas = 19.24 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −10.9 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 120 − 70) = −21.8°

Sudut pada unsur

θ_p = −10.9°

Jawapan

θ_p = −10.9°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −55 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−55·−1 + 60·0 = −55 MPa

Jawapan

τ_θ = −55 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 22.86 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 8·4000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 22.86 mm

Jawapan

δ = 22.86 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: M_A = 13.5 kN·m

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13.5 kN

Momen pada hujung tetap

Momen pada A bagi beban dan daya topang.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 54 − 40.5 = 13.5 kN·m

Jawapan

M_A = 13.5 kN·m

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 56.4 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1050² = 56398 N = 56.4 kN

Jawapan

P_cr = 56.4 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 4.318 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

Jawapan

σ_cr = 4.318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials