Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 25 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 105 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 15 kW pada 1500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 15 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 3 m dari A. Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 3 mP = 60 kN pada 3 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 3 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

55 kN @ 0 m50 kN @ 12 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 200 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 105 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 150 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 80 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 105 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 150 mmpotongan: 80 × 20 mmpusat lubang: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −40 MPa dan σᵧ = 20 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 75 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 4 kNw = 8 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban titik P di tengah rentang. EI adalah malar. Cari magnitud momen lentur M_A pada hujung tetap.

L = 4 mP = 55 kN pada 2 m

M_A = kN·m

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 135 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 135 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.183 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490.9 = 50.93 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 50.93/70000 = 0.0007276 = 727.6 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0007276·3000 mm = 2.183 mm

Jawapan

δ = 2.183 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 928.4 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 83.56 MPa

σ₂ = 928.4 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 928.4 MPa

Jawapan

σ_max = 928.4 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 13.15 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(39000·251327) = 0.2296 rad

φ = 0.2296·180/π = 13.15°

Jawapan

φ = 13.15°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 8.106 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 15000/157.1 = 95.49 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·20/235619 = 8.106 MPa

Jawapan

τ_max = 8.106 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −159.4 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −60·2.5 = −150 kN·m

w: −3·2.5²/2 = −9.375 kN·m

M_x = −150 − 9.375 = −159.4 kN·m

Jawapan

M_x = −159.4 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: B (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 63.75 kN, R₂ = 51.25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = −92.5, M_D = −95, M_E = −97.5, M_F = −100, M_G = 0

Jawapan

Tanda B: M_B = −110 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 443.4 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (60000·150 − 2827·105)/(60000 − 2827) = 152.2 mm

Plat penuh pada ȳ

200·300³/12 + 60000·−2.225² = 450.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−47.23² = 6.942 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 443.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 443.4 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 40.58 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (22500·75 − 1600·105)/(22500 − 1600) = 72.7 mm

Plat penuh pada ȳ

150·150³/12 + 22500·2.297² = 42.31 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

80·20³/12 + 1600·32.3² = 1.722 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 40.58 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 40.58 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 79.53 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (−40 + 20)/2 = −10 MPa

R = σ₁ − C = 75 − (−10) = 85 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 30²) = 79.53 MPa

Jawapan

τ_xy = 79.53 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 10 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−10·1 + 30·0 = 10 MPa

Jawapan

τ_θ = 10 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 37.8 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·1500³/(3·2.53 × 10¹¹) = 17.79 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·2.53 × 10¹¹) = 20.01 mm

Tambahkannya

δ = 17.79 + 20.01 = 37.8 mm

Jawapan

δ = 37.8 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: M_A = 41.25 kN·m

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17.19 kN

Momen pada hujung tetap

Momen pada A bagi beban dan daya topang.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 110 − 68.75 = 41.25 kN·m

Jawapan

M_A = 41.25 kN·m

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 22.21 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/4000² = 22207 N = 22.21 kN

Jawapan

P_cr = 22.21 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 81.39 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 81.39 mm

Jawapan

d = 81.39 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 103.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials