Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 110 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.25 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 105 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 20 kW pada 1800 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

55 kN @ 12 m15 kN @ 2 m10 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 120 mm dan setebal 12 mm, kedalaman keseluruhan 260 mm dan web setebal 8 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 120 mmH = 260 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 210 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 30 × 30 mmpusat lubang: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 50° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −20 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 25° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 1.5 m dari A. Cari pesongan δ_B pada hujung bebas B.

P = 17 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1 m dari penyokong B. Cari pesongan δ_mid di tengah rentang.

P = 12 kNb = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 51.15 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·2827) = 6.431 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0.25/4.887 × 10⁻⁶ = 51154 N = 51.15 kN

Jawapan

P = 51.15 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 11.04 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 213.9 MPa

σ₂ = 522.2 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 213.9·1500/100000 = 3.209 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 522.2·1500/100000 = 7.833 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11.04 mm

Jawapan

δ = 11.04 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 5.699 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·251327) = 0.09947 rad

φ = 0.09947·180/π = 5.699°

Jawapan

φ = 5.699°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 23.82 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 20000/188.5 = 106.1 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·40)) = 23.82 mm

Jawapan

d = 23.82 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 25.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 20·1.5 − 4·1.5·0.75 = 25.5 kN·m

Jawapan

M_x = 25.5 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 51 kN, R₂ = 119 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 82, M_C = 94, M_D = 66, M_E = −2, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −110 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 53.08 × 10⁶ mm⁴

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 260 − 2·12 = 236 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·260³ − 112·236³)/12

I_x = 5.308 × 10⁷ mm⁴ = 53.08 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 53.08 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 221.6 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (30000·150 − 900·210)/(30000 − 900) = 148.1 mm

Plat penuh pada ȳ

100·300³/12 + 30000·1.856² = 225.1 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·30³/12 + 900·61.86² = 3.511 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 221.6 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 221.6 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 58.97 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 30 − (−60)·(−0.1736) − (−40)·0.9848 = 58.97 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 1.027 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 60 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 58.97 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = 39.8 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−10·0.766 + 50·0.6428 = 39.8 MPa

Jawapan

τ_θ = 39.8 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_B = 45.75 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δ_P = Pa³/(3EI) = 30.5 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0305 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 45.75 mm

Jawapan

δ_B = 45.75 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_mid = 3.019 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 12000·1000·(3·5000² − 4·1000²)/(48·5.88 × 10¹²) = 3.019 mm

Jawapan

δ_mid = 3.019 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 16.79 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3500² = 16785 N = 16.79 kN

Jawapan

P_cr = 16.79 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 5.483 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5.483 MPa

Jawapan

σ_cr = 5.483 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials