Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 75 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 55 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 100 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 300 mm berputar 4.21° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 100 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 4.21°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 100 kW pada 750 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 3.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 3.5 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari jarak x₀ dari A ke keratan di mana momen lentur paling besar.

L = 5 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 2 m

x₀ = m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 200 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 84 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 168 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 240 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 40° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1000 mm dan ketebalan dinding 8 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 60° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 1000 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 18 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 5.329 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 75·1000/201.1 = 373 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 373/70000 = 0.005329 = 5329 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.005329·1000 mm = 5.329 mm

Jawapan

δ = 5.329 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 486.3 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 486.3 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 486.3 MPa

Jawapan

σ_max = 486.3 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 25.99 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 4.21·π/180 = 0.07348 rad

Modulus ricih

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·300/(15708·0.07348) = 25992 MPa

G = 25.99 GPa

Jawapan

G = 25.99 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 47.63 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·60)) = 47.63 mm

Jawapan

d = 47.63 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −9 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Potong pada x = 3.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 12 − 6·3.5 = −9 kN

Jawapan

V_x = −9 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x₀ = 1.6 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·2·1

R_B = 24/5 = 4.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 4.8 = 19.2 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 19.2/12 = 1.6 m

Jawapan

x₀ = 1.6 m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 225.9 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (48000·120 − 2827·84)/(48000 − 2827) = 122.3 mm

Plat penuh pada ȳ

200·240³/12 + 48000·−2.253² = 230.6 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−38.25² = 4.774 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 225.9 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 225.9 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 108.7 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (24000·120 − 2400·168)/(24000 − 2400) = 114.7 mm

Plat penuh pada ȳ

100·240³/12 + 24000·5.333² = 115.9 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

60·40³/12 + 2400·53.33² = 7.147 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 108.7 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 108.7 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −6.679 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −20 − (−20)·0.1736 − (−10)·0.9848 = −6.679 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = −33.32 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −6.679 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 78.13 MPa

Tegasan dinding

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2·500/8 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62.5 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 62.5·sin²60° + 125·cos²60° = 78.13 MPa

Jawapan

σ_n = 78.13 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 64.94 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 18000·2000³/(3·9.24 × 10¹¹) = 51.95 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·9.24 × 10¹¹) = 12.99 mm

Tambahkannya

δ = 51.95 + 12.99 = 64.94 mm

Jawapan

δ = 64.94 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 2.197 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2500⁴/(384·200000·6.944) = 2.197 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.197 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 2.197 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 4.112 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/5000² = 4112 N = 4.112 kN

Jawapan

P_cr = 4.112 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 19.28 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6.25 = 320

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19.28 MPa

Jawapan

σ_cr = 19.28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials