Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Kedua-duanya sepanjang 800 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 50 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 15 kW pada 1800 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 4 m dari A. Cari momen lentur M_A pada penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 4 mP = 70 kN pada 4 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 4 m

M_A = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 35 kN pada 2.5 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 30 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mmM = 30 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1500 mm dan ketebalan dinding 12 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2.5 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 30° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 1500 mmt = 12 mmp = 2.5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 7 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 13 kNa = 7 mL = 8 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 75 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 2 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 75 mm

h_req = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.167 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5890 = 9.582 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·800/9.582 × 10⁸ = 0.167 mm

Jawapan

δ = 0.167 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 48.97 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·706.9/200 = 353429 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 50000·353429/510509 = 34615 N

Tegasan

σ₂ = 34615/706.9 = 48.97 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 48.97 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 22.17 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(26000·79522) = 0.3869 rad

φ = 0.3869·180/π = 22.17°

Jawapan

φ = 22.17°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 18.9 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 15000/188.5 = 79.58 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·60)) = 18.9 mm

Jawapan

d = 18.9 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_A = −328 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −70·4 = −280 kN·m

w: −6·4²/2 = −48 kN·m

M_A = −280 − 48 = −328 kN·m

Jawapan

M_A = −328 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 55.31 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2.5 + 12·4·2

R_B = 183.5/4 = 45.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 45.88 = 37.13 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 37.13·2.5 − 12·2.5·1.25 = 55.31 kN·m

Jawapan

M_x = 55.31 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 9.067 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

web: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·132.5 + 1680·60)/7180 = 115.5 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·25³/12 + 5500·(132.5 − 115.5)² = 1.869 × 10⁶ mm⁴

web: 14·120³/12 + 1680·(60 − 115.5)² = 7.198 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.869 × 10⁶ + 7.198 × 10⁶ = 9.067 × 10⁶ mm⁴ = 9.067 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 9.067 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 70.65 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

web: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·170 + 1280·80)/6880 = 153.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 280·20³/12 + 5600·(170 − 153.3)² = 1.757 × 10⁶ mm⁴

web: 8·160³/12 + 1280·(80 − 153.3)² = 9.6 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.757 × 10⁶ + 9.6 × 10⁶ = 1.136 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 180 − 153.3 = 26.74 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·26.74/1.136 × 10⁷ = 70.65 MPa

Jawapan

σ_atas = 70.65 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 65.62 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 90 MPa, R = √(10² + (−40)²) = 41.23 MPa

σ₁ = 131.2 MPa, σ₂ = 48.77 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(82.46, 131.2, 48.77)/2 = 65.62 MPa

Jawapan

τ_abs = 65.62 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 136.7 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Silinder berdinding nipis: tegasan lingkar σ_h = pr/t dan tegasan paksi σ_a = pr/(2t); inilah tegasan utama dalam dinding.

Tegasan dinding

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 2.5·750/12 = 156.3 MPa

σ_a = pr/(2t) = 78.13 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 78.13·sin²30° + 156.3·cos²30° = 136.7 MPa

Jawapan

σ_n = 136.7 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 28.72 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 13000·7000²·1000²/(3·9.24 × 10¹¹·8000) = 28.72 mm

Jawapan

δ_P = 28.72 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 231.6 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12.5 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·12.5) = 7.766 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·7.766 × 10⁷/75)^1/3 = 231.6 mm

Jawapan

h_req = 231.6 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 17.99 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2000² = 17991 N = 17.99 kN

Jawapan

P_cr = 17.99 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 4.318 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

Jawapan

σ_cr = 4.318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials