Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 12 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 35 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci loyang pepejal berdiameter 50 mm terikat pada A. Tork 500 N·m bertindak pada B, 0.5 m dari A, dan tork 400 N·m dalam arah yang sama bertindak pada hujung bebas C, 0.8 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 400 N·mAB = 0.5 mBC = 0.8 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

15 kN @ 2 m5 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

50 kN @ 0 m15 kN @ 6 m25 kN @ 2 m6 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 160 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 110 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 18 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

b = 160 mmh = 110 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 30 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 110 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° ikut arah jam dari paksi-x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1.5 m dari penyokong B. Cari pesongan δ_mid di tengah rentang.

P = 21 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 130 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 130 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 7579 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 60·1000/113.1 = 530.5 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 530.5/70000 = 0.007579 = 7579 µε

Jawapan

ε = 7579 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.741 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 49.51 MPa

σ₂ = 111.4 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 49.51·500/70000 = 0.3537 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 111.4·1500/70000 = 2.387 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.741 mm

Jawapan

δ = 2.741 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.4669 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·613592) = 0.008149 rad

φ = 0.008149·180/π = 0.4669°

Jawapan

φ = 0.4669°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 1.844 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 500 = 900 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 900000·500/(39000·613592) = 0.0188 rad

φ_BC = 400000·800/(39000·613592) = 0.01337 rad

Kilasan hujung C

φ_C = 0.0188 + 0.01337 = 0.03218 rad → |φ_C| = 1.844°

Jawapan

φ_C = 1.844°

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 15 kN, R₂ = 10 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 30 kN·m, M_D = 27.5, M_E = 20, M_F = 10, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 30 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: B (x = 1 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 82.33 kN, R₂ = 25.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −20.67, M_D = −22.33, M_E = −30, M_F = −15, M_G = 0

Jawapan

Tanda B: M_B = −50 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 7.074 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 160·18 = 2880 mm², y₁ = 9 mm

dua kaki: A₂ = 2·18·92 = 3312 mm², y₂ = 18 + 92/2 = 64 mm

Sentroid

ȳ = (2880·9 + 3312·64)/6192 = 38.42 mm

Teorem paksi selari

bes: 160·18³/12 + 2880·(9 − 38.42)² = 2.57 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·18·92³/12 + 3312·(64 − 38.42)² = 4.503 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.57 × 10⁶ + 4.503 × 10⁶

I_x = 7.074 × 10⁶ mm⁴ = 7.074 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 7.074 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 72.26 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232.5 mm

web: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·232.5 + 3080·110)/5580 = 164.9 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 100·25³/12 + 2500·(232.5 − 164.9)² = 1.156 × 10⁷ mm⁴

web: 14·220³/12 + 3080·(110 − 164.9)² = 2.17 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.156 × 10⁷ + 2.17 × 10⁷ = 3.326 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 245 − 164.9 = 80.12 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·80.12/3.326 × 10⁷ = 72.26 MPa

Jawapan

σ_atas = 72.26 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 56.18 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 90 MPa, R = √(20² + 10²) = 22.36 MPa

σ₁ = 112.4 MPa, σ₂ = 67.64 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44.72, 112.4, 67.64)/2 = 56.18 MPa

Jawapan

τ_abs = 56.18 MPa

Di sini bulatan luar satah menentukan: maksimum mutlak lebih besar daripada maksimum dalam satah R.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 85 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 115 + 45·0 + 30·−1 = 85 MPa

Jawapan

σ_θ = 85 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 42.09 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 42.09 mm

Jawapan

δ_max = 42.09 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_mid = 3.555 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 21000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·7.2 × 10¹²) = 3.555 mm

Jawapan

δ_mid = 3.555 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 34.54 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1250² = 34544 N = 34.54 kN

Jawapan

P_cr = 34.54 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 83.8 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 83.8 mm

Jawapan

d = 83.8 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 167.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials