Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 45 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 110 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal 0.8 m panjang membawa tork 200 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 0.5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 200 N·mL = 0.8 mG = 26 GPaφ_allow = 0.5°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

35 kN @ 2 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur sagging maksimum M_max di antara penyokong.

L = 10 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 10 mpenyokong pada x = 0 dan x = 8 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 50 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 97.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 150 mmpotongan: 50 × 40 mmpusat lubang: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 300 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = 150 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 3.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 2 kNa = 3.5 mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 125 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 125 mm

h_req = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 8.526 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113.1 = 397.9 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 397.9/70000 = 0.005684 = 5684 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.005684·1500 mm = 8.526 mm

Jawapan

δ = 8.526 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 5.632 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 114.3 MPa

σ₂ = 350.1 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114.3·1000/100000 = 1.143 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350.1·1500/117000 = 4.489 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.632 mm

Jawapan

δ = 5.632 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 51.77 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0.8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·800/(26000·0.008727) = 705179 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 51.77 mm

Jawapan

d = 51.77 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 65.9 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 100000/104.7 = 954.9 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/362265 = 65.9 MPa

Jawapan

τ_max = 65.9 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 47.33 kN, R₂ = 35.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 43.33, M_C = 78.67 kN·m, M_D = 71, M_E = 55.33, M_F = 31.67, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 78.67 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 14.06 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·10·5

R_B = 100/8 = 12.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 12.5 = 7.5 kN

Daya ricih sifar

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7.5/2 = 3.75 m

Momen sagging maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7.5²/(2·2) = 14.06 kN·m

Jawapan

M_max = 14.06 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 8.353 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

web: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·150 + 1400·70)/4200 = 123.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 140·20³/12 + 2800·(150 − 123.3)² = 2.084 × 10⁶ mm⁴

web: 10·140³/12 + 1400·(70 − 123.3)² = 6.269 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.084 × 10⁶ + 6.269 × 10⁶ = 8.353 × 10⁶ mm⁴ = 8.353 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 8.353 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 26.69 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (15000·75 − 2000·97.5)/(15000 − 2000) = 71.54 mm

Plat penuh pada ȳ

100·150³/12 + 15000·3.462² = 28.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

50·40³/12 + 2000·25.96² = 1.615 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 26.69 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 26.69 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −40.27 °

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 60 − 40) = −80.54°

Sudut pada unsur

θ_p = −40.27°

Jawapan

θ_p = −40.27°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 1.642

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 65 MPa, R = 98.62 MPa

σ₁ = 163.6 MPa, σ₂ = −33.62 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(163.6² − 163.6·(−33.62) + (−33.62)²) = 182.8 MPa

n = 300/182.8 = 1.642

Jawapan

n = 1.642

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 64.45 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 2000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 2000·3500²·2500²/(3·1.32 × 10¹¹·6000) = 64.45 mm

Jawapan

δ_P = 64.45 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 206.7 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·16.67) = 9.205 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·9.205 × 10⁷/125)^1/3 = 206.7 mm

Jawapan

h_req = 206.7 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 324 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN

Jawapan

P_cr = 324 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 22.56 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22.56 MPa

Jawapan

σ_cr = 22.56 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials