Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 110 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 250 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.5 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0.5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 50 kW pada 750 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 40 kN·m pada x = 4 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kiri pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6 mM₀ = 40 kN·m ikut arah jam, pada 4 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1.5 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari jarak x_c dari A ke titik lenturan songsang di antara penyokong (di mana momen lentur bertukar tanda).

L = 5.5 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 5.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 4 m

x_c = m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 50 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 0 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 60° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 0 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 70 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 70 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1301 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·4006 = 6.919 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·600/6.919 × 10⁸ = 0.1301 mm

Jawapan

δ = 0.1301 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 26.54 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1.08 × 10⁶ N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 60000·1.08 × 10⁶/1.244 × 10⁶ = 52105 N

Tegasan

σ₂ = 52105/1963 = 26.54 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 26.54 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 32.38 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·40·0.9375)) = 32.38 mm

d_i = 0.5·32.38 = 16.19 mm

Jawapan

d_o = 32.38 mm

Aci pepejal memerlukan d = 31.69 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 34.35 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34.35 mm

Jawapan

d = 34.35 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −26.67 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/6 = 6.667 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −6.667 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kiri pasangan daya

Bahagian kiri hanya mengandungi R_A.

M_x = R_A·a = −6.667·4 = −26.67 kN·m

Jawapan

M_x = −26.67 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x_c = 3.438 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·5.5 = 16.5 kN, bertindak pada x̄ = 2.75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·5.5·2.75

R_B = 45.38/4 = 11.34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16.5 − 11.34 = 5.156 kN

Momen sifar

Di antara penyokong M(x) = R_A·x − w·x²/2. Selain x = 0, ia sifar pada x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·5.156/3 = 3.438 m

Jawapan

x_c = 3.438 m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 44.07 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232.5 mm

web: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·232.5 + 3520·110)/8020 = 178.7 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 180·25³/12 + 4500·(232.5 − 178.7)² = 1.324 × 10⁷ mm⁴

web: 16·220³/12 + 3520·(110 − 178.7)² = 3.083 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.324 × 10⁷ + 3.083 × 10⁷ = 4.407 × 10⁷ mm⁴ = 44.07 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 44.07 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 183.2 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232.5 mm

web: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·232.5 + 3960·110)/8460 = 175.2 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 180·25³/12 + 4500·(232.5 − 175.2)² = 1.503 × 10⁷ mm⁴

web: 18·220³/12 + 3960·(110 − 175.2)² = 3.279 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.503 × 10⁷ + 3.279 × 10⁷ = 4.782 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 175.2 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·175.2/4.782 × 10⁷ = 183.2 MPa

Jawapan

σ_bawah = 183.2 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 78.1 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((−30 − 70)/2)² + 60²) = 78.1 MPa

Jawapan

τ_max = 78.1 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −20.18 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −25 + 25·−0.5 + 20·0.866 = −20.18 MPa

Jawapan

σ_θ = −20.18 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 11.72 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 11.72 mm

Jawapan

δ_max = 11.72 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 5.357 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·70000·5.556) = 5.357 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5.357 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 5.357 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 13.89 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·5000 = 10000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/10000² = 13891 N = 13.89 kN

Jawapan

P_cr = 13.89 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 49.03 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 49.03 mm

Jawapan

d = 49.03 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 163.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials