Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar keluli di bawah beban paksi itu.

P = 120 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 20 mm dipiuh oleh tork 30 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 300 mm berputar 0.84° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 30 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 0.84°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 50 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 500 N·m dikenakan pada C, 2.5 m dari A dan 0.8 m dari B. Cari tork tindak balas T_A pada dinding A.

d = 50 mmT₀ = 500 N·ma = 2.5 mb = 0.8 m

T_A = N·m

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

35 kN @ 10 m25 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 60 kN pada 2 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 150 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 210 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 96 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 240 mmpotongan: 30 × 40 mmpusat lubang: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 60 mm membawa momen lentur 1000 N·m bersama-sama dengan tork 1000 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

d = 60 mmM = 1000 N·mT = 1000 N·m

τ_max = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 6 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa dua beban titik sama P pada titik sepertiganya (L/3 dari setiap penyokong). Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ_max di tengah rentang.

P = 5 kNL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 60 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.833 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 120·1000/490.9 = 244.5 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 244.5/200000 = 0.001222 = 1222 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001222·1500 mm = 1.833 mm

Jawapan

δ = 1.833 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 23.91 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 60000·589049/752673 = 46957 N

Tegasan

σ₂ = 46957/1963 = 23.91 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 23.91 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 39.08 GPa

Momen kutub dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0.84·π/180 = 0.01466 rad

Modulus ricih

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·300/(15708·0.01466) = 39081 MPa

G = 39.08 GPa

Jawapan

G = 39.08 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: T_A = 121.2 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·0.8/3.3 = 121.2 N·m

T_B = 500·2.5/3.3 = 378.8 N·m

Jawapan

T_A = 121.2 N·m

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 18.33 kN, R₂ = 41.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 36.67, M_C = 73.33, M_D = 110 kN·m, M_E = 96.67, M_F = 83.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 110 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 96 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·2 + 2·10·5

R_B = 220/10 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 22 = 58 kN

Potong pada x = 4 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 58·4 − 60·(4 − 2) − 2·4·2 = 96 kN·m

Jawapan

M_x = 96 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 332.7 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (45000·150 − 1257·210)/(45000 − 1257) = 148.3 mm

Plat penuh pada ȳ

150·300³/12 + 45000·1.724² = 337.6 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·61.72² = 4.913 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 332.7 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 332.7 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 114.3 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (24000·120 − 1200·96)/(24000 − 1200) = 121.3 mm

Plat penuh pada ȳ

100·240³/12 + 24000·−1.263² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·40³/12 + 1200·−25.26² = 0.9259 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 114.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 114.3 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −29.52 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 30/58.31 = 0.5145, sin 2θ_s = −50/58.31 = −0.8575

2θ_s = atan2(−50, 30) = −59.04°

Sudut pada unsur

θ_s = −29.52°

semakan: θ_s − θ_p = −29.52 − 15.48 = −45°

Jawapan

θ_s = −29.52°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 33.35 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·60³) = 47.16 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23.58 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 23.58 MPa

R = √(23.58² + 23.58²) = 33.35 MPa

Jawapan

τ_max = 33.35 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 2.233 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 2.233 mm

Jawapan

δ = 2.233 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.932 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 5000 N, L = 4000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

Satu beban pada L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 0.9658 mm

Tambah kedua-dua beban

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 1.932 mm

Jawapan

δ_max = 1.932 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 55.52 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/2000² = 55517 N = 55.52 kN

Jawapan

P_cr = 55.52 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 65.99 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·60000 = 150000 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 65.99 mm

Jawapan

d = 65.99 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 212.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials