Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.25 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 105 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0.5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, keluli (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 15 kW pada 300 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 8 mP₁ = 20 kN pada 2 mP₂ = 55 kN pada 4 m

M_max = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 60 kN pada 5 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 5 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = −20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 26 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (keluli)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 7 kNw = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 97.8 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·2827) = 9.646 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0.25/2.556 × 10⁻⁶ = 97804 N = 97.8 kN

Jawapan

P = 97.8 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.732 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 148.5 MPa

σ₂ = 334.2 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 148.5·500/70000 = 1.061 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 334.2·1000/200000 = 1.671 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.732 mm

Jawapan

δ = 2.732 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 7.47 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·38350) = 0.1304 rad

φ = 0.1304·180/π = 7.47°

Jawapan

φ = 7.47°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 19.07 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·30/751193 = 19.07 MPa

Jawapan

τ_max = 19.07 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 130 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2 + 55·4

R_B = 260/8 = 32.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 32.5 = 42.5 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·2 = 42.5·2 = 85 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·4 = 32.5·4 = 130 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 130 kN·m (di bawah P₂)

Jawapan

M_max = 130 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 175 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·5 + 2·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Potong pada x = 5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 40·5 − 2·5·2.5 = 175 kN·m

Jawapan

M_x = 175 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 42.37 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

web: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·285 + 3920·140)/4920 = 169.5 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 100·10³/12 + 1000·(285 − 169.5)² = 1.336 × 10⁷ mm⁴

web: 14·280³/12 + 3920·(140 − 169.5)² = 2.902 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.336 × 10⁷ + 2.902 × 10⁷ = 4.237 × 10⁷ mm⁴ = 42.37 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 42.37 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 9.881 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207.5 mm

web: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·207.5 + 1600·100)/5800 = 177.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 280·15³/12 + 4200·(207.5 − 177.8)² = 3.772 × 10⁶ mm⁴

web: 8·200³/12 + 1600·(100 − 177.8)² = 1.503 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.772 × 10⁶ + 1.503 × 10⁷ = 1.88 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 215 − 177.8 = 37.16 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·37.16/1.88 × 10⁷ = 9.881 MPa

Jawapan

σ_atas = 9.881 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 54.22 °

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 60 − 80) = 108.4°

Sudut pada unsur

θ_p = 54.22°

Jawapan

θ_p = 54.22°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 43.59 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = −25 MPa, R = 20.62 MPa

σ₁ = −4.384 MPa, σ₂ = −45.62 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−4.384)² − (−4.384)·(−45.62) + (−45.62)²) = 43.59 MPa

Jawapan

σ_vM = 43.59 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 18.75 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 26000·3000³/(3·1.68 × 10¹³) = 13.93 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 4.821 mm

Tambahkannya

δ = 13.93 + 4.821 = 18.75 mm

Jawapan

δ = 18.75 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 10.69 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, w = 10 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 7000·4000³/(48·3.99 × 10¹²) = 2.339 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 8.354 mm

Tambahkannya

δ_max = 2.339 + 8.354 = 10.69 mm

Jawapan

δ_max = 10.69 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 15.99 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/6000² = 15992 N = 15.99 kN

Jawapan

P_cr = 15.99 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 179 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Jawapan

σ_cr = 179 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials