Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 600 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 80 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 400 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 30 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 2000 N·m dikenakan pada C, 2.5 m dari A dan 2 m dari B. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

d = 30 mmT₀ = 2000 N·ma = 2.5 mb = 2 m

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 5.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 5.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 6 mw = 6 kN/m dari 3 hingga 5 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 210 mm dan setebal 18 mm, kedalaman keseluruhan 260 mm dan web setebal 10 mm. Cari modulus keratan kenyalnya S_x bagi lenturan pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 210 mmH = 260 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 30 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 60° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = 140 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 2 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 20 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 2 m dari penyokong B. Cari pesongan δ_mid di tengah rentang.

P = 28 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1698 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·2199 = 2.827 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·600/2.827 × 10⁸ = 0.1698 mm

Jawapan

δ = 0.1698 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 37.93 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 80000·98960/295310 = 26809 N

Tegasan

σ₂ = 26809/706.9 = 37.93 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 37.93 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 22.17 °

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(26000·79522) = 0.3869 rad

φ = 0.3869·180/π = 22.17°

Jawapan

φ = 22.17°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 209.6 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan T_A + T_B = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·2/4.5 = 888.9 N·m

T_B = 2000·2.5/4.5 = 1111 N·m

Tegasan ricih maksimum

Tork yang lebih besar daripada kedua-duanya menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·1.111 × 10⁶/(π·30³) = 209.6 MPa

Jawapan

τ_max = 209.6 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 16.5 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Potong pada x = 5.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 36·5.5 − 12·5.5·2.75 = 16.5 kN·m

Jawapan

M_x = 16.5 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 13.33 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·2·4

R_B = 48/6 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 8 = 4 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 4/6 = 3.667 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 4·3.667 − 6·0.6667²/2 = 13.33 kN·m

Jawapan

M_max = 13.33 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: S_x = 925 × 10³ mm³

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 260 − 2·18 = 224 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·260³ − 200·224³)/12

I_x = 1.203 × 10⁸ mm⁴

Modulus keratan

c = H/2 = 130 mm

S_x = I/c = 1.203 × 10⁸/130

S_x = 925048 mm³ = 925 × 10³ mm³

Jawapan

S_x = 925 × 10³ mm³

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 43.95 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272.5 mm

web: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·272.5 + 2600·130)/6600 = 216.4 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 160·25³/12 + 4000·(272.5 − 216.4)² = 1.281 × 10⁷ mm⁴

web: 10·260³/12 + 2600·(130 − 216.4)² = 3.404 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.281 × 10⁷ + 3.404 × 10⁷ = 4.685 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 285 − 216.4 = 68.64 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·68.64/4.685 × 10⁷ = 43.95 MPa

Jawapan

σ_atas = 43.95 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 81.39 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((90 − −20)/2)² + −60²) = 81.39 MPa

Jawapan

τ_max = 81.39 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −14.64 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 60 + 80·−0.5 + −40·0.866 = −14.64 MPa

Jawapan

σ_θ = −14.64 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 15.46 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·2000²·4000²/(3·4.6 × 10¹²·6000) = 15.46 mm

Jawapan

δ_P = 15.46 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_mid = 12.78 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 28000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 28000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·8.4 × 10¹²) = 12.78 mm

Jawapan

δ_mid = 12.78 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 110.2 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·1000 = 700 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/700² = 110152 N = 110.2 kN

Jawapan

P_cr = 110.2 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 2.763 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2.763 MPa

Jawapan

σ_cr = 2.763 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials