Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 115 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 40 mm dan panjang 1 m; segmen BC berdiameter 20 mm dan panjang 2 m. Tork 100 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1 md₂ = 20 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 1800 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 4 m35 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 8 mP = 15 kN pada 5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 8 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 120 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 150 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 14 mm. Cari ketinggian ȳ sentroid di atas tepi bawah.

b = 120 mmh = 150 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 110 mm dan setebal 14 mm, kedalaman keseluruhan 400 mm dan web setebal 6 mm. Ia menanggung momen lentur 120 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur σ_j pada simpang antara web dengan bebibir atas.

B = 110 mmH = 400 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 40° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 60 mm membawa daya mampatan paksi 30 kN bersama-sama dengan tork 500 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 60 mmF = −30 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 2.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 15 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari tindak balas R_B pada topang.

L = 5 mw = 15 kN/m

R_B = kN

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 15 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 15 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 7179 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113.1 = 840 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 840/117000 = 0.007179 = 7179 µε

Jawapan

ε = 7179 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 11.17 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 162.7 MPa

σ₂ = 572 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 162.7·1000/117000 = 1.391 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 572·2000/117000 = 9.777 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11.17 mm

Jawapan

δ = 11.17 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 63.66 MPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Tegasan dalam setiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·40³) = 7.958 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·20³) = 63.66 MPa

Jawapan

τ_max = 63.66 MPa

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 10.85 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1.834 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·37.5/1.834 × 10⁶ = 10.85 MPa

Jawapan

τ_max = 10.85 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 18.33 kN, R₂ = 26.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 36.67, M_C = 73.33, M_D = 90, M_E = 106.7 kN·m, M_F = 53.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 106.7 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 73.14 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·5 + 6·8·4

R_B = 267/8 = 33.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 33.38 = 29.63 kN

Di manakah V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 29.63/6 = 4.938 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 29.63·4.938 − 6·4.938²/2 = 73.14 kN·m

Jawapan

M_max = 73.14 kN·m

Ia berlaku pada x = 4.938 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: ȳ = 59.04 mm

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

dua kaki: A₂ = 2·14·136 = 3808 mm², y₂ = 14 + 136/2 = 82 mm

Sentroid

ȳ = (1680·7 + 3808·82)/5488 = 59.04 mm

Jawapan

ȳ = 59.04 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_j = 158.8 MPa

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 400 − 2·14 = 372 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·400³ − 104·372³)/12

I_x = 1.405 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 200 − 14 = 186 mm

σ = M·y/I = 1.2 × 10⁸·186/1.405 × 10⁸ = 158.8 MPa

Jawapan

σ_j = 158.8 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −20.46 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −50 − 0·0.1736 − (−30)·0.9848 = −20.46 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = −79.54 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −100 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −20.46 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 7.623 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = −30000/(π·60²/4) = −30000/2827 = −10.61 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = −5.305 MPa

R = √((−5.305)² + 11.79²) = 12.93 MPa

σ₁ = C + R = 7.623 MPa

σ₂ = C − R = −18.23 MPa

Jawapan

σ₁ = 7.623 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 3.798 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 15000·2500²·3500²/(3·1.68 × 10¹³·6000) = 3.798 mm

Jawapan

δ_P = 3.798 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: R_B = 28.13 kN

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28.13 kN

Jawapan

R_B = 28.13 kN

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 2.35 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2800² = 2350 N = 2.35 kN

Jawapan

P_cr = 2.35 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 47.18 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 47.18 mm

Jawapan

d = 47.18 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 339.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials