Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 40 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 40 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 200 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.5 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0.5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 1000 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

45 kN @ 4 m15 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 6 mw = 20 kN/m dari 1 hingga 3 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 180 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 80 mm dan setinggi 50 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 80 × 50 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 130 MPa dan σᵧ = 0 MPa. Berapa besarkah tegasan ricih τ_xy (magnitud) boleh menjadi sebelum tegasan utama terbesar mencapai 170 MPa?

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 170 MPa

τ_xy = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 30° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. Cari pesongan δ pada hujung bebas.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 3.492 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490.9 = 81.49 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 81.49/70000 = 0.001164 = 1164 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.001164·3000 mm = 3.492 mm

Jawapan

δ = 3.492 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 353.7 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 41.58 MPa

σ₂ = 353.7 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 353.7 MPa

Jawapan

σ_max = 353.7 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 26.26 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·60·0.9375)) = 26.26 mm

d_i = 0.5·26.26 = 13.13 mm

Jawapan

d_o = 26.26 mm

Aci pepejal memerlukan d = 25.7 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 15.36 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 100000/104.7 = 954.9 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37.5/2.332 × 10⁶ = 15.36 MPa

Jawapan

τ_max = 15.36 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 35 kN, R₂ = 70 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 70, M_D = 97.5, M_E = 110 kN·m, M_F = 62.5, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 110 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 44.44 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2·2

R_B = 80/6 = 13.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 13.33 = 26.67 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 26.67/20 = 2.333 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 26.67·2.333 − 20·1.333²/2 = 44.44 kN·m

Jawapan

M_max = 44.44 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (30000·150 − 1963·180)/(30000 − 1963) = 147.9 mm

Plat penuh pada ȳ

100·300³/12 + 30000·2.101² = 225.1 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·50⁴/64 + 1963·32.1² = 2.33 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 130.7 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (40000·100 − 4000·120)/(40000 − 4000) = 97.78 mm

Plat penuh pada ȳ

200·200³/12 + 40000·2.222² = 133.5 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

80·50³/12 + 4000·22.22² = 2.809 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 130.7 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 130.7 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_xy = 82.46 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari yang diperlukan

C = (130 + 0)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 170 − 65 = 105 MPa

Tegasan ricih

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 65²) = 82.46 MPa

Jawapan

τ_xy = 82.46 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −45.62 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −70·0.866 + 30·0.5 = −45.62 MPa

Jawapan

τ_θ = −45.62 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 30.68 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 30.68 mm

Jawapan

δ = 30.68 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 33.29 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2500⁴/(384·11000·6.944) = 3.329 × 10⁷ mm⁴

I_req = 33.29 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 33.29 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 39.48 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/3000² = 39478 N = 39.48 kN

Jawapan

P_cr = 39.48 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 21.93 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

Jawapan

σ_cr = 21.93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials