Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar kuprum di bawah beban paksi itu.

P = 25 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada gangsa (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 110 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 30 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: gangsa, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal 0.8 m panjang membawa tork 250 N·m. Sudut kilasan antara kedua-dua hujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi had ini.

T = 250 N·mL = 0.8 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 15 kW pada 1500 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1.5 m hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P₁ di antara penyokong dan beban titik P₂ pada C. Cari daya ricih V_x sejurus di sebelah kiri penyokong B. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 7.5 mP₁ = 30 kN pada 1 mP₂ = 50 kN pada 7.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 6 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 20 kN pada 2.5 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 150 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 97.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 40 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 130 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 200 mmpotongan: 40 × 20 mmpusat lubang: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = 20 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = 50 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 60° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1.5 m dari penyokong B. Cari pesongan δ_mid di tengah rentang.

P = 21 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 130 kN dengan faktor keselamatan 2.5 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 130 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 4.081 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 25·1000/78.54 = 318.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 318.3/117000 = 0.002721 = 2721 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.002721·1500 mm = 4.081 mm

Jawapan

δ = 4.081 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 18.32 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 30000·345575/450295 = 23023 N

Tegasan

σ₂ = 23023/1257 = 18.32 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 18.32 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: d = 34.75 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub yang diperlukan

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0.8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0.01745 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·800/(80000·0.01745) = 143239 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 34.75 mm

Jawapan

d = 34.75 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 18.25 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 15000/157.1 = 95.49 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18.25 mm

Jawapan

d = 18.25 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −17.5 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk. Beban juluran juga bertindak pada A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1 + 50·7.5

R_B = 405/6 = 67.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 67.5 = 12.5 kN

Keratan sejurus di sebelah kiri B dan simpan bahagian kiri

V_x = R_A − P₁ = 12.5 − 30 = −17.5 kN

Jawapan

V_x = −17.5 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 33.75 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2.5 + 8·4·2

R_B = 114/4 = 28.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 28.5 = 23.5 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 23.5·2.5 − 8·2.5·1.25 = 33.75 kN·m

Jawapan

M_x = 33.75 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 27.3 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (15000·75 − 1257·97.5)/(15000 − 1257) = 72.94 mm

Plat penuh pada ȳ

100·150³/12 + 15000·2.057² = 28.19 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·24.56² = 0.8835 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 27.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 27.3 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 65.89 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (20000·100 − 800·130)/(20000 − 800) = 98.75 mm

Plat penuh pada ȳ

100·200³/12 + 20000·1.25² = 66.7 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

40·20³/12 + 800·31.25² = 0.8079 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 65.89 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 65.89 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 32.02 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = 25 MPa, R = √(25² + 20²) = 32.02 MPa

σ₁ = 57.02 MPa, σ₂ = −7.016 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(64.03, 57.02, 7.016)/2 = 32.02 MPa

Jawapan

τ_abs = 32.02 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ mempunyai tanda yang berlawanan, maka maksimum dalam satah R juga ialah maksimum mutlak.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = 40.98 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 0 + −30·−0.5 + 30·0.866 = 40.98 MPa

Jawapan

σ_θ = 40.98 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.0217 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 10·5000³/(24·2.4 × 10¹²) = 0.0217 rad

Jawapan

θ_A = 0.0217 rad

Itu ialah 1.243°.

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_mid = 10.66 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 21000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·2.4 × 10¹²) = 10.66 mm

Jawapan

δ_mid = 10.66 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 30.08 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/3500² = 30079 N = 30.08 kN

Jawapan

P_cr = 30.08 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 87.97 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 87.97 mm

Jawapan

d = 87.97 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 113.7, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials