Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar keluli, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 30 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 5 kW pada 300 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 4 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 4 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 15 kN pada 2.5 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 30 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 195 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 30 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegasan ricih maksimum mutlak τ_abs pada titik itu (mengambil kira semua satah dalam tiga dimensi).

σ_x = −50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Aci pepejal berdiameter 25 mm membawa daya tegangan paksi 50 kN bersama-sama dengan tork 400 N·m. Pada permukaan aci, cari tegasan utama terbesar σ₁.

d = 25 mmF = 50 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 125 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/300. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 125 mm

h_req = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 356.5 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 35·1000/490.9 = 71.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for keluli = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 71.3/200000 = 0.0003565 = 356.5 µε

Jawapan

ε = 356.5 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 12.22 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 30000·654498/818123 = 24000 N

Tegasan

σ₂ = 24000/1963 = 12.22 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 12.22 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.217 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(39000·79522) = 0.03869 rad

φ = 0.03869·180/π = 2.217°

Jawapan

φ = 2.217°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 9.731 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·25/408885 = 9.731 MPa

Jawapan

τ_max = 9.731 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −4 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Potong pada x = 4 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 12 − 4·4 = −4 kN

Jawapan

V_x = −4 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 31.25 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2.5 + 4·5·2.5

R_B = 87.5/5 = 17.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 17.5 = 17.5 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 17.5·2.5 − 4·2.5·1.25 = 31.25 kN·m

Jawapan

M_x = 31.25 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 223.5 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (30000·150 − 706.9·195)/(30000 − 706.9) = 148.9 mm

Plat penuh pada ȳ

100·300³/12 + 30000·1.086² = 225 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·46.09² = 1.541 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 223.5 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 223.5 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 52.35 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

web: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·305 + 4800·150)/6600 = 192.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 180·10³/12 + 1800·(305 − 192.3)² = 2.289 × 10⁷ mm⁴

web: 16·300³/12 + 4800·(150 − 192.3)² = 4.458 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.289 × 10⁷ + 4.458 × 10⁷ = 6.747 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 310 − 192.3 = 117.7 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·117.7/6.747 × 10⁷ = 52.35 MPa

Jawapan

σ_atas = 52.35 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_abs = 50 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Dalam tiga dimensi tegasan ricih maksimum mutlak ialah (σ_max − σ_min)/2 ke atas ketiga-tiga tegasan utama; dalam tegasan satah yang ketiga ialah sifar.

Tegasan utama dalam satah

C = −10 MPa, R = √((−40)² + (−30)²) = 50 MPa

σ₁ = 40 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ_z = 0

Yang terbesar daripada tiga bulatan

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 40, 60)/2 = 50 MPa

Jawapan

τ_abs = 50 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ mempunyai tanda yang berlawanan, maka maksimum dalam satah R juga ialah maksimum mutlak.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ₁ = 190.9 MPa

Tegasan pada permukaan

σ = F/A = 50000/(π·25²/4) = 50000/490.9 = 101.9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130.4 MPa

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 50.93 MPa

R = √(50.93² + 130.4²) = 140 MPa

σ₁ = C + R = 190.9 MPa

σ₂ = C − R = −89.04 MPa

Jawapan

σ₁ = 190.9 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 16.08 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 16.08 mm

Jawapan

δ_max = 16.08 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 204.3 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·16.67) = 8.878 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·8.878 × 10⁷/125)^1/3 = 204.3 mm

Jawapan

h_req = 204.3 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 48.83 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·1500 = 750 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/750² = 48835 N = 48.83 kN

Jawapan

P_cr = 48.83 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 49.35 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12.5 = 200

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

Jawapan

σ_cr = 49.35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials