Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 35 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci loyang pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 50 kW pada 1000 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 2.5 m dari A. Cari momen lentur M_A pada penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 3 mP = 60 kN pada 2.5 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 3 m

M_A = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 5 mP = 35 kN pada 2.5 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 5 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 200 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 156 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 90 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 300 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 30° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = −40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 500 mm dan ketebalan dinding 5 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 1 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 40° kepada paksi silinder. Cari magnitud tegasan ricih |τ_n| yang bertindak di sepanjang kelim kimpalan.

D = 500 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 1 m dari A. Cari pesongan δ_B pada hujung bebas B.

P = 17 kNa = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban titik P di tengah rentang. EI adalah malar. Cari tindak balas R_B pada topang.

L = 4 mP = 70 kN pada 2 m

R_B = kN

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 105 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 105 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2343 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 115·1000/490.9 = 234.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 234.3/100000 = 0.002343 = 2343 µε

Jawapan

ε = 2343 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 174.1 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 49.51 MPa

σ₂ = 174.1 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 174.1 MPa

Jawapan

σ_max = 174.1 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.923 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(39000·251327) = 0.05101 rad

φ = 0.05101·180/π = 2.923°

Jawapan

φ = 2.923°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 36.5 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·50)) = 36.5 mm

Jawapan

d = 36.5 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_A = −168 kN·m

Simpan bahagian hujung bebas

P: −60·2.5 = −150 kN·m

w: −4·3²/2 = −18 kN·m

M_A = −150 − 18 = −168 kN·m

Jawapan

M_A = −168 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 50 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2.5 + 2·5·2.5

R_B = 112.5/5 = 22.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 22.5 = 22.5 kN

Di manakah V = 0?

V(2.5⁻) = R_A − w·2.5 = 17.5 kN

V(2.5⁺) = 17.5 − 35 = −17.5 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·2.5 − w·2.5²/2 = 22.5·2.5 − 2·2.5²/2 = 50 kN·m

Jawapan

M_max = 50 kN·m

Ia berlaku pada x = 2.5 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (48000·120 − 1963·156)/(48000 − 1963) = 118.5 mm

Plat penuh pada ȳ

200·240³/12 + 48000·1.535² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·50⁴/64 + 1963·37.54² = 3.073 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 440.7 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (60000·150 − 2400·90)/(60000 − 2400) = 152.5 mm

Plat penuh pada ȳ

200·300³/12 + 60000·−2.5² = 450.4 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

60·40³/12 + 2400·−62.5² = 9.695 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 440.7 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 440.7 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = −53.3 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = −20 − (−20)·0.5 − 50·0.866 = −53.3 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 13.3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = −53.3 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: |τ_n| = 12.31 MPa

Tegasan dinding

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1·250/5 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

|τ_n| = (50 − 25)·sin 40°·cos 40° = 12.31 MPa

Jawapan

|τ_n| = 12.31 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_B = 4.329 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0.787 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.001181 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4.329 mm

Jawapan

δ_B = 4.329 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: R_B = 21.88 kN

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·70/16 = 21.88 kN

Jawapan

R_B = 21.88 kN

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 640.7 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1400² = 640691 N = 640.7 kN

Jawapan

P_cr = 640.7 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 66.46 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66.46 mm

Jawapan

d = 66.46 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 180.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials