Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.5 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 105 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1.5 m, keluli (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci berongga mesti memindahkan 30 kW pada 500 rpm. Diameter dalamnya ialah 0.7 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 30 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0.7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 45 kN·m pada x = 3 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 8 mM₀ = 45 kN·m ikut arah jam, pada 3 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 8.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mP = 55 kN pada 8 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 8.5 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 180 mm dan setebal 12 mm, kedalaman keseluruhan 420 mm dan web setebal 12 mm. Cari modulus keratan kenyalnya S_x bagi lenturan pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 180 mmH = 420 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 60 MPa dalam tegangan dan 150 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 50 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = −60 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 35° lawan arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 1 m dari A. Cari pesongan δ_B pada hujung bebas B.

P = 19 kNa = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu balak)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 114 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8.488 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0.5/4.386 × 10⁻⁶ = 114009 N = 114 kN

Jawapan

P = 114 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 522.2 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 213.9 MPa

σ₂ = 522.2 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 522.2 MPa

Jawapan

σ_max = 522.2 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 7.295 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(80000·15708) = 0.1273 rad

φ = 0.1273·180/π = 7.295°

Jawapan

φ = 7.295°

4.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 42.51 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 573 N·m = 572958 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·572958/(π·50·0.7599)) = 42.51 mm

d_i = 0.7·42.51 = 29.75 mm

Jawapan

d_o = 42.51 mm

Aci pepejal memerlukan d = 38.79 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 28.13 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/8 = 5.625 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −5.625 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi R_A dan pasangan daya.

M_x = R_A·a + M₀ = −5.625·3 + 45 = 28.13 kN·m

Jawapan

M_x = 28.13 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 91.5 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·8 + 4·10·5

R_B = 640/10 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 64 = 31 kN

Potong pada x = 8.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 31·8.5 − 55·(8.5 − 8) − 4·8.5·4.25 = 91.5 kN·m

Jawapan

M_x = 91.5 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: S_x = 1152 × 10³ mm³

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 420 − 2·12 = 396 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·420³ − 168·396³)/12

I_x = 2.419 × 10⁸ mm⁴

Modulus keratan

c = H/2 = 210 mm

S_x = I/c = 2.419 × 10⁸/210

S_x = 1.152 × 10⁶ mm³ = 1152 × 10³ mm³

Jawapan

S_x = 1152 × 10³ mm³

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 9.657 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (7800·115 + 1400·50)/9200 = 105.1 mm

tepi atas: c = 130 − 105.1 = 24.89 mm

Momen luas kedua

I = 260·30³/12 + 7800·9.891² + 14·100³/12 + 1400·55.11² = 6.767 × 10⁶ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Hogging: bahagian atas dalam tegangan, bahagian bawah dalam mampatan.

tepi atas: M = 60·6.767 × 10⁶/24.89 = 16.31 kN·m

tepi bawah: M = 150·6.767 × 10⁶/105.1 = 9.657 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 9.657 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 9.657 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 52.2 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((60 − 30)/2)² + 50²) = 52.2 MPa

Jawapan

τ_max = 52.2 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −67.51 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −50·0.9397 + −60·0.342 = −67.51 MPa

Jawapan

τ_θ = −67.51 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_B = 1.089 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0.1979 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0002969 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.089 mm

Jawapan

δ_B = 1.089 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 13.64 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2000⁴/(384·11000·5.556) = 1.364 × 10⁷ mm⁴

I_req = 13.64 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 13.64 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 12.34 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/6000² = 12337 N = 12.34 kN

Jawapan

P_cr = 12.34 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 3.084 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/7.5 = 800

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3.084 MPa

Jawapan

σ_cr = 3.084 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials