Kaedah Berangka: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Kaedah berangka

Pembahagi dua: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Had ralat trapezium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Kaedah

Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.

Jujukan & siri

Jujukan aritmetik: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomial Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Kaedah

Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soalan latihan

1.Kaedah berangkaSederhana

Laju sebuah kenderaan diukur setiap 5 s (jadual). Anggarkan jarak s yang dilalui dari t = 0 hingga t = 30 s dengan petua trapezium.

h = 5 sn = 6

s = m

2.Kaedah berangkaSukar

Gunakan kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) dengan h = 0.25 untuk y′ = y(2 − y), y(0) = 1 untuk menganggar y₂ ≈ y(0.5).

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0.25

y₂ =

3.Jujukan & siriSederhana

Cari jejari penumpuan R bagi siri kuasa Σ_k=1^∞ (2k)!·xᵏ/(k!)².

Σ (2k)!·xᵏ/(k!)²x₀ = 0

R =

4.Jujukan & siriSukar

f(x) = ln(1 + x) dianggarkan oleh polinomial Maclaurin berdarjah 5 pada x = 0.5. Gunakan had ralat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 5! = 120 untuk mencari ralat terbesar yang mungkin |R₅|.

f(x) = ln(1 + x)n = 5x = 0.5M = 120

|R₅| =

5.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−1 3 −2; 5 3 4; −3 −2 0]

det A =

6.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem 5x − 4y = −5 dan 2x + y = 4. Cari x.

5x − 4y = −52x + y = 4

x =

7.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 7y′ + 10y = 0 dengan y(0) = 5 dan y′(0) = 6. Cari y(1).

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = 6

y(1) =

8.Persamaan pembezaanSukar

Sebuah tangki mengandungi 1000 L air tulen. Air garam dengan 0.25 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 5 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 75 min?

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0.25 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3Larutan

1.Kaedah berangka

Jawapan: s = 612.5 m

Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.

Hasil tambah berpemberat

8 + 2·13 + 2·15 + 2·21 + 2·26 + 2·27 + 33 = 245

Petua trapezium

s = (5/2)·245 = 612.5 m

Jawapan

s = 612.5 m

2.Kaedah berangka

Jawapan: y₂ = 1.456

Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Heun

y₁ = 1 + (0.25/2)(1 + 0.9375) = 1.242188

y₂ = 1.242188 + (0.25/2)(0.941345 + 0.771971) = 1.456352

Graf

y₂ = 1.456

Jawapan

y₂ = 1.456

Nilai tepat ialah y(0.5) = 1.462117.

3.Jujukan & siri

Jawapan: R = 0.25

Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |a_k+1/a_k|; ujian punca: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σc_k(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.

Pekali

c_k+1/c_k = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, maka R = 1/4

Jejari

R = 0.25

Jawapan

R = 0.25

Ujian nisbah tidak menentukan apa-apa pada kedua-dua titik hujung; ia mesti disemak secara berasingan.

4.Jujukan & siri

Jawapan: |R₅| = 0.002604

Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.

Had pada terbitan

M = 5! = 120

Had Lagrange

|R₅| ≤ 120·0.5⁶/6! = 0.002604

Jawapan

|R₅| = 0.002604

Ralat sebenar lebih kecil: |f(0.5) − P₅(0.5)| = 0.001827.

5.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −42

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 8, M₁₂ = 12, M₁₃ = −1

Pengembangan kofaktor

det A = (−1)·8 − 3·12 + (−2)·(−1) = −42

Jawapan

det A = −42

6.Matriks & penentu

Jawapan: x = 0.8462

Penentu matriks pekali

det A = 5·1 − (−4)·2 = 13

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−5)·1 − (−4)·4 = 11

x = 11/13 = 0.8462

Jawapan

x = 0.8462

y = 2.308

7.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1) = 1.363

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 5, −2A − 5B = 6

A = 10.33, B = −5.333

Nilaikan

y(1) = 10.33·e⁻² + (−5.333)·e⁻⁵ = 1.363

Jawapan

y(1) = 1.363

8.Persamaan pembezaan

Jawapan: m = 78.18 kg

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Sediakan persamaan

dm/dt = 5·0.25 − (5/1000)·m = 1.25 − 0.005·m

Selesaikan

Faktor pengamiran ialah e^rt/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.

m(t) = 250 + (−250)·e^−t/200

Gantikan t

m(75) = 250 + (−250)·0.6873 = 78.18 kg

Jawapan

m = 78.18 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods