Untuk punca: semak perubahan tanda untuk pembahagi dua, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan simpan enam digit atau lebih dalam jadual lelaran.
Untuk nilai jadual: interpolasi secara linear antara dua titik jiran.
Untuk kamiran: cari h = (b − a)/n, senaraikan f pada setiap nod, gunakan pemberat (1, 2, …, 2, 1 untuk trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan darab dengan h/2 atau h/3.
Untuk PPB: melangkah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau cerun purata (Heun), satu baris bagi setiap langkah, sehingga anda sampai ke t yang diminta.
Jujukan & siri
Jujukan aritmetik
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Jujukan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Siri geometri tak terhingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Siri-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Ujian nisbah
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jejari penumpuan
R = lim |ck/ck+1|
Polinomial Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Siri Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Had ralat Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Kaedah
Kenal pasti jenisnya: aritmetik (beza malar), geometri (nisbah malar), siri piawai, siri kuasa atau polinomial Taylor.
Untuk hasil tambah gunakan Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) apabila |r| < 1, dengan a₁ ialah sebutan pertama hasil tambah.
Untuk penumpuan: ujian sebutan ke-n dahulu, kemudian bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau siri geometri, dan gunakan ujian nisbah atau punca untuk faktorial dan kuasa k.
Untuk polinomial Taylor senaraikan f(a), f′(a), f″(a), …, bahagi terbitan ke-k dengan k!, dan beri had ralat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & penentu
penentu 2×2
det = ad − bc
Songsangan 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Petua Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan pembezaan
Pertumbuhan/pereputan eksponen
dy/dt = ky → y = y0ekt
Separuh hayat
k = ln 2 / t½
Hukum penyejukan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor pengamiran
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soalan latihan
1.Kaedah berangkaSederhana
Laju sebuah kenderaan diukur setiap 5 s (jadual). Anggarkan jarak s yang dilalui dari t = 0 hingga t = 30 s dengan petua trapezium.
h = 5 sn = 6
s = m
2.Kaedah berangkaSukar
Selesaikan y′ = y(2 − y), y(0) = 1 dengan kaedah Euler dan langkah h = 0.2 sehingga t = 0.8. Penyelesaian tepat ialah y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Cari ralat global |E| = |y(0.8) − y4|.
y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0.2
|E| =
3.Jujukan & siriSederhana
Tepat satu daripada empat siri menumpu. Klik siri itu.
A: Σ 1/√kB: Σ k/(k + 6)C: Σ k²/2ᵏD: Σ ln k / k
1A: Σ 1/√k
2B: Σ k/(k + 6)
3C: Σ k²/2ᵏ
4D: Σ ln k / k
4.Jujukan & siriSukar
f(x) = eˣ dianggarkan pada x = 1 oleh polinomial Maclaurin berdarjah n. Dengan had Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 3, cari darjah terkecil n yang menjamin ralat di bawah 0.001.
f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 0.001
n =
5.Matriks & penentuSederhana
Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−4 2 −5; 4 4 4; −5 −2 5]
det A =
6.Matriks & penentuSukar
Selesaikan sistem −3x + 4y = −6 dan −4x + 6y = 1. Cari x.
−3x + 4y = −6−4x + 6y = 1
x =
7.Persamaan pembezaanSederhana
Secawan kopi pada 85 °C ditinggalkan di dalam bilik pada 22 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0.05 min⁻¹, cari suhunya T selepas 7 min.
T0 = 85 °CTa = 22 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 7 min
T = °C
8.Persamaan pembezaanSukar
Sebuah tangki mengandungi 500 L air yang di dalamnya terlarut 10 kg garam. Air garam dengan 0.1 kg garam setiap liter mengalir masuk pada 2 L/min, dan larutan yang bercampur sekata mengalir keluar pada kadar yang sama. Berapakah jumlah garam m dalam tangki selepas 50 min?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0.1 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
3Larutan
1.Kaedah berangka
Jawapan: s = 242.5 m
Pengamiran berangka: bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar h = (b − a)/n dengan nod x₀ … xₙ. Petua trapezium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Petua Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Ralat trapezium mengecil seperti h² (had (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, maka Simpson biasanya jauh lebih tepat untuk nod yang sama.
Hasil tambah berpemberat
5 + 2·7 + 2·7 + 2·10 + 2·8 + 2·10 + 8 = 97
Petua trapezium
s = (5/2)·97 = 242.5 m
Jawapan
s = 242.5 m
2.Kaedah berangka
Jawapan: |E| = 0.03423
Penyelesaian berangka bagi y′ = f(t, y): kaedah Euler melangkah di sepanjang cerun pada permulaan setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Kaedah Heun (Euler yang dipertingkat) mengambil purata cerun pada permulaan dan pada ramalan Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Kaedah Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat cerun: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Ralat global Euler berkadar dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y4 = 1.698263
Nilai tepat
y(0.8) = 1.664037
Ralat global
|E| = |1.664037 − 1.698263| = 0.03423
Graf
Jawapan
|E| = 0.03423
Membahagi dua h kira-kira membahagi dua ralat kaedah Euler.
3.Jujukan & siri
Jawapan: C: Σ k²/2ᵏ
Penumpuan: jika sebutan tidak menuju 0, siri itu mencapah (ujian sebutan ke-n). Σ1/kᵖ menumpu hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan siri dengan salah satu daripadanya apabila sebutannya berkelakuan seperti itu bagi k yang besar. Ujian nisbah: L = lim |ak+1/ak|; ujian punca: L = lim |ak|1/k. L < 1 menumpu, L > 1 mencapah, L = 1 tidak menentukan apa-apa. Siri kuasa Σck(x − x₀)ᵏ menumpu untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; siri berselang-seli dengan sebutan menurun kepada 0 menumpu.
Uji setiap siri
A: Σ 1/√k → Siri-p dengan p = 1/2 ≤ 1: mencapah.
B: Σ k/(k + 6) → Sebutan menuju 1, bukan 0: mencapah melalui ujian sebutan ke-n.
C: Σ k²/2ᵏ → Ujian nisbah: L = 1/2 < 1, menumpu.
D: Σ ln k / k → Lebih besar daripada 1/k untuk k ≥ 3: mencapah melalui perbandingan dengan siri harmonik.
Jawapannya
C: Σ k²/2ᵏ
Jawapan
C: Σ k²/2ᵏ
4.Jujukan & siri
Jawapan: n = 6
Polinomial Taylor: berhampiran x = a, fungsi licin dianggarkan oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini ialah polinomial Maclaurin. Siri piawai: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Had ralat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M ialah nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| antara a dengan x.
Had untuk n yang meningkat
n = 5: 0.004167 ≥ 0.001
n = 6: 0.0005952 < 0.001
Darjah terkecil
n = 6
Jawapan
n = 6
5.Matriks & penentu
Jawapan: det A = −252
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = 28, M₁₂ = 40, M₁₃ = 12
Pengembangan kofaktor
det A = (−4)·28 − 2·40 + (−5)·12 = −252
Jawapan
det A = −252
6.Matriks & penentu
Jawapan: x = 20
Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.
Penentu matriks pekali
det A = (−3)·6 − 4·(−4) = −2
Gantikan lajur x
det Aₓ = (−6)·6 − 4·1 = −40
x = −40/(−2) = 20
Jawapan
x = 20
y = 13.5
7.Persamaan pembezaan
Jawapan: T = 66.4 °C
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Penyelesaian hukum penyejukan
T(t) = 22 + 63·e−0.05t
Gantikan t
T(7) = 22 + 63·0.7047 = 66.4 °C
Jawapan
T = 66.4 °C
8.Persamaan pembezaan
Jawapan: m = 17.25 kg
Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.
Sediakan persamaan
dm/dt = 2·0.1 − (2/500)·m = 0.2 − 0.004·m
Selesaikan
Faktor pengamiran ialah ert/V; penyelesaiannya menghampiri keseimbangan c·V.